un problème sur les groupes

[mylou 2]

D'après Roger Godement,on peut facilement montrer que :sur tout ensemble il existe une structure de groupe.(cours d'algèbre,éditions Hermann).
Malgré des efforts nombreux, je n'ai pu prouver cette assertion.

Merci de bien vouloir me dépanner.
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[Médiat]

D'après Roger Godement,on peut facilement montrer que :sur tout ensemble il existe une structure de groupe.(cours d'algèbre,éditions Hermann).
Malgré des efforts nombreux, je n'ai pu prouver cette assertion.

Merci de bien vouloir me dépanner.

Si je comprends bien la question, il suffit de montrer qu'il existe un groupe en toute cardinalité (sauf 0, l'ensemble vide n'est pas un groupe),

1. pour les cardinaux finis (Z/pZ, +) répond à la question
2. pour l'infini dénombrable (Z, +) répond à la question
3. pour les infinis non dénombrable, l'existence de (Z, +) et le théorème de Löwenheim-Skolem permettent d'affirmer qu'il en existe en tous les cardinaux infinis

Mais-ce la bonne question ?

[mylou 2]

Merci pour cette réponse rapide.C'est bien une réponse à ma question,mais le cas non dénombrable n'est pas simple comme le laissait supposer Roger Godement.Ceci dit les 2 premiers cas me satisfont totalement.

[Médiat]

le cas non dénombrable n'est pas simple comme le laissait supposer Roger Godement.

On peut munir l'ensemble des parties d'un ensemble d'une structure de groupe avec la différence symétrique, mais cela ne règle la question qu'avec l'hypothèse généralisée du continu.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mylou 2]

Merci beaucoup ,Médiat.

Le cas non dénombrable n'est apparemment pas simple.

Je me sens assez dépassé avec la théorie des ensembles!


Bien cordialement