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Exercice de probabilité



  1. #1
    FAN FAN

    Exercice de probabilité


    ------

    Bonjour,

    Je sèche depuis un certain temps sur l'exercice suivant :

    Soit (Xk) une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi, strictement positives et avec EX1 = a < oo.
    Soit Sn := X1 + ... +Xn.
    On pose Nt := 1S1<= t + ... + 1Sn<= t.
    Montrer :
    a) SNt <= t < SNt+1
    b) Nt tend pp vers oo lorsque t -> oo
    c) Nt / t -> 1/a pp lorsque t -> oo (utiliser la loi forte des grands nombres).

    Merci à qui pourra me donner quelques pistes vers la solution ...

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    FAN FAN

    Re : Exercice de probabilité

    Citation Envoyé par FAN FAN Voir le message
    Bonjour,

    Je sèche depuis un certain temps sur l'exercice suivant :

    Soit (Xk) une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi, strictement positives et avec EX1 = a < oo.
    Soit Sn := X1 + ... +Xn.
    On pose Nt := 1S1<= t + ... + 1Sn<= t.
    Montrer :
    a) SNt <= t < SNt+1
    b) Nt tend pp vers oo lorsque t -> oo
    c) Nt / t -> 1/a pp lorsque t -> oo (utiliser la loi forte des grands nombres).

    Merci à qui pourra me donner quelques pistes vers la solution ...
    Je reformule l'énoncé car il y a une petite erreur:

    Soit (Xk) une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi, strictement positives et avec EX1 = a < oo.
    Soit Sn := X1 + ... +Xn.
    On pose Nt := 1S1<= t + ... + 1Sn<= t + ... (ajouter + ...)
    Montrer :
    a) SNt <= t < SNt+1
    b) Nt tend pp vers oo lorsque t -> oo
    c) Nt / t -> 1/a pp lorsque t -> oo (utiliser la loi forte des grands nombres).

  4. #3
    Romain-des-Bois

    Re : Exercice de probabilité

    Salut,

    déjà, il y a un problème de définition pour

    je pense qu'il s'agit plutôt de :


    Bon, supposons le a) acquis

    Alors, on a : tend vers l'infini quand tend vers l'infini. (conséquence directe du a) )

    Or : qui sont tous strictement positifs mais finis (au moins presque partout), donc si tend vers l'infini alors c'est que le nombre des termes de la somme tend vers l'infini (toujours presque partout) et donc tend vers l'infini (presque partout).

    Bilan : t tend vers l'infini implique que tend vers l'infini presque partout.

    Passons au c)

    Avec la loi des grands nombres, on a : quand n tend vers l'infini.
    Alors d'après b), quand tend vers l'infini, tend vers l'infini et donc (quand t tend vers l'infini).
    On utilise l'encadrement du a) :

    (i) donc

    (ii)
    donc
    donc

    Bilan :
    Reste à faire tendre t vers l'infini : comme tend vers l'infini et tend vers a, on a :
    (presque partout)

    et donc (pp)

    Reste à voir le premier point !

    Romain
    Dernière modification par Romain-des-Bois ; 18/08/2008 à 13h30.

  5. #4
    Romain-des-Bois

    Re : Exercice de probabilité

    Re !

    Bon, je me suis planté sur la définition de (pas étonnant que je trouvais pas le a) ) mais le reste reste bon.


    Romain

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Romain-des-Bois

    Re : Exercice de probabilité

    Bon, la question a) est très facile en fait, c'est juste la définition plus la stricte croissance de la suite



    Les premiers termes de la somme (et eux uniquement) valent 1 et à partir du ème ils sont nuls (car la suite est strictement croissante).
    Donc : et

    et c'est fini !

    Romain

  8. #6
    Romain-des-Bois

    Re : Exercice de probabilité

    Petite correction
    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    Avec la loi des grands nombres, on a : quand n tend vers l'infini.

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  10. #7
    FAN FAN

    Re : Exercice de probabilité

    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    Bon, la question a) est très facile en fait, c'est juste la définition plus la stricte croissance de la suite



    Les premiers termes de la somme (et eux uniquement) valent 1 et à partir du ème ils sont nuls (car la suite est strictement croissante).
    Donc : et

    et c'est fini !

    Romain
    Merci pour tes réponses, Romain, ça éclaircit bien le problème.
    En ce qui concerne ta réponse (juste) ci-dessus, ne serait-il pas mieux de la formuler ainsi ? :

    Il y a égalité entre ces deux évènements:
    {Nt=k} = {Sk<=t} intersection {Sk+1>t}
    Donc pour l'évènement Nt=k, les k premiers termes de la somme (et eux uniquement) valent 1 et à partir du k+1 ème ils sont nuls (car la suite est strictement croissante).
    Donc... etc
    En effet Nt est une variable aléatoire (c'est à dire une fonction et non un nombre) qui prend ses valeurs dans N.
    Mais c'est un détail...

  11. #8
    Romain-des-Bois

    Re : Exercice de probabilité

    Citation Envoyé par FAN FAN Voir le message
    Merci pour tes réponses
    De rien

    Il y a égalité entre ces deux évènements:
    {Nt=k} = {Sk<=t} intersection {Sk+1>t}
    Donc pour l'évènement Nt=k, les k premiers termes de la somme (et eux uniquement) valent 1 et à partir du k+1 ème ils sont nuls (car la suite est strictement croissante).
    Donc... etc
    En effet Nt est une variable aléatoire (c'est à dire une fonction et non un nombre) qui prend ses valeurs dans N.
    Mais c'est un détail...
    Ma réponse me semble très claire, et je ne crois pas qu'il y ait plus à dire (en examen par exemple). Maintenant, une démonstration est bonne si elle convainct le lecteur. Si la tienne permet de te convaincre du résultat plus que celle que je propose, alors conserve la tienne

    Tu veux faire la distinction entre v.a. et nombre (entre fonction et valeur). C'est vrai que c'est important, mais premièrement, on ne l'a fait pas toujours quand il n'y a pas d'ambiguité, et deuxièmement, ton énoncé lui-même ne la fait pas !
    (il faudrait écrire : )

    C'est un exercice de quel niveau ?

    Romain

  12. #9
    FAN FAN

    Re : Exercice de probabilité

    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    De rien


    Ma réponse me semble très claire, et je ne crois pas qu'il y ait plus à dire (en examen par exemple). Maintenant, une démonstration est bonne si elle convainct le lecteur. Si la tienne permet de te convaincre du résultat plus que celle que je propose, alors conserve la tienne

    Tu veux faire la distinction entre v.a. et nombre (entre fonction et valeur). C'est vrai que c'est important, mais premièrement, on ne l'a fait pas toujours quand il n'y a pas d'ambiguité, et deuxièmement, ton énoncé lui-même ne la fait pas !
    (il faudrait écrire : )

    C'est un exercice de quel niveau ?

    Romain
    Tout ce que tu dis est exact, mais cela me gène de confondre, comme si c'était naturel, fonction et valeurs prises par la fonction et c'est pour cela que je butais sur ce problème car l'énoncé fait sans vergogne cette confusion !
    Je pense que cette ambiguité doit être levé par le théorème dit du transfert qui permet de s'ffranchir de l'ensemble omega et alors la variable aléatoire créent les évènements dans son ensemble de valeurs (ici N). Ce que je dis est-il bien exact ?

    C'est un exercice de L3 tiré d'un devoir qui comportait 4 exercices du même niveau.

  13. #10
    Romain-des-Bois

    Re : Exercice de probabilité

    Citation Envoyé par FAN FAN Voir le message
    Tout ce que tu dis est exact, mais cela me gène de confondre, comme si c'était naturel, fonction et valeurs prises par la fonction et c'est pour cela que je butais sur ce problème car l'énoncé fait sans vergogne cette confusion !
    Et toi aussi quand tu écris Pourtant je suis sûr que là, ça ne te gêne pas.

    Je pense que cette ambiguité doit être levé par le théorème dit du transfert qui permet de s'ffranchir de l'ensemble omega et alors la variable aléatoire créent les évènements dans son ensemble de valeurs (ici N). Ce que je dis est-il bien exact ?
    Le théorème de transfert sert... à intégrer (à calculer des moments en général).

    Dans le cas général :
    espace mesuré et mesurable
    mesurable

    On munit de la mesure (dite mesure image) :
    définie par :
    alors si alors :
    Dernière modification par Romain-des-Bois ; 18/08/2008 à 15h46.

  14. #11
    Romain-des-Bois

    Re : Exercice de probabilité

    J'avais écrit des bêtises pour le cas où on prend une v.a. : je corrige :

    (ça c'est le théorème de transfert)

    Puis si est à densité ie (là, c'est plus le théorème de transfert) :


    Voilà

  15. #12
    FAN FAN

    Re : Exercice de probabilité

    [QUOTE=Romain-des-Bois;1845519]Et toi aussi quand tu écris Pourtant je suis sûr que là, ça ne te gêne pas.

    QUOTE]

    n'est pas un évènement (n'est pas un élément de la tribu de l'ensemble de valeur) mais une variable aléatoire (c'est à dire une fonction) puisque Sn est une variable aléatoire.

    J'ai l'impression de ne plus rien comprendre...
    Doit-on distinguer ou non variable aléatoire et éléments de la tribu de l'ensemble de valeurs de cette variable aléatoire ?? Cela me semble deux entités très différente:
    - la première est une fonction
    - la seconde est un ensemble lequel, certe, a pour mesure justement la mesure image sur l'ensemble de valeurs de la fonction.

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  17. #13
    Romain-des-Bois

    Re : Exercice de probabilité

    n'est pas un évènement (n'est pas un élément de la tribu de l'ensemble de valeur) mais une variable aléatoire (c'est à dire une fonction) puisque Sn est une variable aléatoire.

    J'ai l'impression de ne plus rien comprendre...
    Doit-on distinguer ou non variable aléatoire et éléments de la tribu de l'ensemble de valeurs de cette variable aléatoire ?? Cela me semble deux entités très différente:
    - la première est une fonction
    - la seconde est un ensemble lequel, certe, a pour mesure justement la mesure image sur l'ensemble de valeurs de la fonction.
    Soyons clair.

    Si X est une v.a. alors écrire n'a aucun sens [On compare une fonction et un réel]. Pourtant c'est ce qu'on fait souvent en pratique. Ici, tu écris :
    ce qui désigne l'indicatrice de l'événement suivant :
    en pratique on écrit donc :


    C'est tout, l'abus de notation se fait ici (pas entre v.a. et éléments de l'ensemble de départ).

    C'est plus clair ?

    Romain

  18. #14
    FAN FAN

    Re : Exercice de probabilité

    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    Soyons clair.

    Si X est une v.a. alors écrire n'a aucun sens [On compare une fonction et un réel]. Pourtant c'est ce qu'on fait souvent en pratique. Ici, tu écris :
    ce qui désigne l'indicatrice de l'événement suivant :
    en pratique on écrit donc :


    C'est tout, l'abus de notation se fait ici (pas entre v.a. et éléments de l'ensemble de départ).

    C'est plus clair ?

    Romain
    Ce que tu dis est clair, j'ai bien compris cet abus de notation qui est fait couramment, mais ma question ne portait pas exactement sur ceci mais sur cela :

    1Sk<=t est une fonction mesurable de omega dans R dont {0,1} est l'ensemble de valeurs, c'est donc une variable aléatoire (1Sk<=t(omega)=1)
    Donc Nt, qui est une somme de variables aléatoires est aussi une variable aléatoire.
    Jusque là, pas de problème.
    1SNt<=1 est déjà plus problématique:
    C'est une fonction mesurable de omega dans R dont l'image de omega vaut 1. C'est donc bien une variable aléatoire.
    Mais c'est aussi l'indicatrice d'un ensemble {SNt<=t} qui est lui-même un ensemble aléatoire puisque Nt est une variable aléatoire ! C'est donc une variable aléatoire à deux titres : au titre de fonction indicatrice d'un élément de la tribu de omega et au titre que cet élément est lui même aléatoire. Je trouve que que c'est un peu difficile à concevoir !
    Mais de plus, tu écris dans ta démonstration:
    " Les premiers termes de la somme (et eux uniquement) valent 1 et à partir du ème ils sont nuls (car la suite est strictement croissante).
    Donc : et "
    Par exemple quand tu écris cela désigne le sous ensemble de omega où cette fonction, aléatoire à deux titres, vaut 1. C'est quand même assez tordu !
    Cela dit, j'ai parfaitement compris ta démonstration, mais ces raccourcis de notation obscurcissent plutôt le problème !

  19. #15
    Romain-des-Bois

    Re : Exercice de probabilité

    Salut,

    oui tu as raison : est une v.a. "doublement" aléatoire, et c'est pour cela qu'il faudrait écrire :


    quand on applique la fonction à un élément de l'ensemble de départ (plutôt lourd).

    Quand j'écris " les premiers termes de la somme valent 1 et..." :
    Il faudrait écrire en toute rigueur :
    Pour tout ,
    les premiers termes de la somme valent 1 et..."

    ce qu'on ne fait généralement pas.

    Je ne sais pas si tu révises ou si tu prends de l'avance sur le programme, mais je me souviens au début de mes cours de théorie de la mesure et probas avoir été plutôt décontenancé par ces abus de notations, et je revenais systématiquement à une notation rigoureuse. Au bout de quelques mois, j'étais habitué et je t'assure qu'au lieu d'obscurcir le problème, ça allège bien les écritures !

    Romain

  20. #16
    FAN FAN

    Re : Exercice de probabilité

    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    Salut,

    oui tu as raison : est une v.a. "doublement" aléatoire, et c'est pour cela qu'il faudrait écrire :

    quand on applique la fonction à un élément de l'ensemble de départ (plutôt lourd).

    Quand j'écris " les premiers termes de la somme valent 1 et..." :
    Il faudrait écrire en toute rigueur :
    Pour tout ,
    les premiers termes de la somme valent 1 et..."

    ce qu'on ne fait généralement pas.

    Je ne sais pas si tu révises ou si tu prends de l'avance sur le programme, mais je me souviens au début de mes cours de théorie de la mesure et probas avoir été plutôt décontenancé par ces abus de notations, et je revenais systématiquement à une notation rigoureuse. Au bout de quelques mois, j'étais habitué et je t'assure qu'au lieu d'obscurcir le problème, ça allège bien les écritures !

    Romain
    est une fonction

    est un nombre appartenant à {0,1} (la valeur de la fonction sur l'élément omega. Ce n'est donc pas équivalent.
    Cela dit, j'ai compris et je te remercie vivement de m'avoir bien éclairé sur ce sujet. Je révise pour un examen en septembre que je n'ai pas passé en juin ne m'estimant pas assez préparé.

  21. #17
    FAN FAN

    Re : Exercice de probabilité

    Pour compléter:
    Il me semble que l'ensemble Omega semble inutile et que l'on peut résoudre tous les problèmes sans jamais y faire référence, mais en travaillant uniquement sur l'espace mesuré (R, B(R),P), P étant la mesure image de la mesure sur Omega par la v.a. considérée. Alors à quoi peut bien servir la notion de v.a. si ce n'est pour l'oublier dès que l'on a à résoudre des problèmes ?

  22. #18
    Romain-des-Bois

    Re : Exercice de probabilité

    Citation Envoyé par FAN FAN Voir le message
    est une fonction

    est un nombre appartenant à {0,1} (la valeur de la fonction sur l'élément omega. Ce n'est donc pas équivalent.
    Je ne sais bien que ces deux écritures ne désignent pas la même chose, mais je voulais te montrer qu'appliquer la fonction à un élément introduit une écriture plutôt lourde.

    Cela dit, j'ai compris et je te remercie vivement de m'avoir bien éclairé sur ce sujet. Je révise pour un examen en septembre que je n'ai pas passé en juin ne m'estimant pas assez préparé.
    J'aimerais juste te convaincre que les "abus de notation" des probabilistes n'obscurcissent pas les problèmes.


    Pour répondre à ton dernier message :

    Décidément, je n'arrive pas à comprendre ce qui te pose problème

    est un espace probabilisé, qui est dans la plupart des cas, inconnu explicitement. Et on n'a pas besoin de le connaître explicitement.

    est une variable aléatoire par exemple réelle, si elle part de dans telle qu'elle soit mesurable.

    Si on considère une variable aléatoire à valeurs réelles, on s'intéresse souvent à la loi de , c'est-à-dire à : ce qu'on note (c'est la loi de ).
    est une mesure (une probabilité même) sur . C'est la notion de mesure image (mesure image de par ).

    Pour définir correctement , on doit revenir à l'ensemble :

    (car écrire n'a aucun sens comme tu l'as fait plusieurs fois remarquer).

    Ainsi, si tu acceptes les abus de notations probabilistes, tu n'as pas besoin de revenir à l'ensemble car tu écris simplement (en gardant à l'esprit que ça désigne ), par contre si tu refuses ce manque de rigueur, tu ne peux pas te passer de ...

    C'est plus clair ?

    Romain

  23. Publicité
  24. #19
    FAN FAN

    Re : Exercice de probabilité

    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    Je ne sais bien que ces deux écritures ne désignent pas la même chose, mais je voulais te montrer qu'appliquer la fonction à un élément introduit une écriture plutôt lourde.


    J'aimerais juste te convaincre que les "abus de notation" des probabilistes n'obscurcissent pas les problèmes.


    Pour répondre à ton dernier message :

    Décidément, je n'arrive pas à comprendre ce qui te pose problème

    est un espace probabilisé, qui est dans la plupart des cas, inconnu explicitement. Et on n'a pas besoin de le connaître explicitement.
    Mais je ne veux pas abuser de ton temps, tu as déjà été très sympa par tes réponses détaillées, je t'en remercie.

    est une variable aléatoire par exemple réelle, si elle part de dans telle qu'elle soit mesurable.

    Si on considère une variable aléatoire à valeurs réelles, on s'intéresse souvent à la loi de , c'est-à-dire à : ce qu'on note (c'est la loi de ).
    est une mesure (une probabilité même) sur . C'est la notion de mesure image (mesure image de par ).

    Pour définir correctement , on doit revenir à l'ensemble :

    (car écrire n'a aucun sens comme tu l'as fait plusieurs fois remarquer).

    Ainsi, si tu acceptes les abus de notations probabilistes, tu n'as pas besoin de revenir à l'ensemble car tu écris simplement (en gardant à l'esprit que ça désigne ), par contre si tu refuses ce manque de rigueur, tu ne peux pas te passer de ...

    C'est plus clair ?

    Romain
    Oui, je pense avoir compris: et la v.a. X ne sert qu'a définir , mesure sur (R,B(R)) faisant de (R, B(R), PX) un nouvel espace mesuré sur lequel on resout le probléme. Et alors, dans (R, B(R), PX), , désigne tout simplement B appartenant à B(R) := boréliens de R dans le sens que la mesure de l'ensemble {X app B} par P et celle de B par PX sont égales. C'est bien ça que tu veux dire ?
    Mais je ne voudrais pas abuser de ton temps, tu as déjà été très sympa par tes réponses détaillées, encore merci.

  25. #20
    Romain-des-Bois

    Re : Exercice de probabilité

    Citation Envoyé par FAN FAN Voir le message
    Oui, je pense avoir compris: et la v.a. X ne sert qu'a définir , mesure sur (R,B(R)) faisant de (R, B(R), PX) un nouvel espace mesuré sur lequel on resout le probléme.
    Oui... et non. La v.a. X ne sert pas qu'à définir puisque c'est elle qui modélise le problème. Et puis, on peut définir des v.a. à partir de la loi (Si X modélise le lancer d'un dé, on écrit : )

    En général, ce qui est intéressant, c'est justement l'étude de . Par exemple son espérance qui est définie par : . Mais tu as raison, le théorème de transfert permet de se transporter sur (et donc de quitter ), avec :



    Et alors, dans (R, B(R), PX), , désigne tout simplement B appartenant à B(R) := boréliens de R dans le sens que la mesure de l'ensemble {X app B} par P et celle de B par PX sont égales. C'est bien ça que tu veux dire ?
    Non, désigne toujours l'ensemble des tels que . Tu ne peux pas y échapper et il faut toujours l'avoir à l'esprit pour éviter des confusions.

    Par contre tu as raison, si on applique à on trouve la même chose que si on applique à mais c'est normal, c'est la définition

    Je ne sais pas si c'est très clair pour toi. Je sais que c'est pas évident. Je te conseille de faire des exos écrits en langage probabiliste, quand tu trouves cela confus, tu reviens à une écriture rigoureuse (plus du côté de la théorie de la mesure), et petit à petit, ça deviendra naturel.

    Mais je ne voudrais pas abuser de ton temps, tu as déjà été très sympa par tes réponses détaillées, encore merci.


    Par curiosité, tu as suivi à peu près quel genre de programme dans ton cours de probabilités ? (et tu es dans quelle fac ?)
    Je change d'université pour faire un master probas/stats, et j'aimerais savoir à peu près ce qui se fait dans les autres universités


    Romain

  26. #21
    FAN FAN

    Re : Exercice de probabilité

    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    Je ne sais bien que ces deux écritures ne désignent pas la même chose, mais je voulais te montrer qu'appliquer la fonction à un élément introduit une écriture plutôt lourde.


    J'aimerais juste te convaincre que les "abus de notation" des probabilistes n'obscurcissent pas les problèmes.


    Pour répondre à ton dernier message :

    Décidément, je n'arrive pas à comprendre ce qui te pose problème

    est un espace probabilisé, qui est dans la plupart des cas, inconnu explicitement. Et on n'a pas besoin de le connaître explicitement.

    est une variable aléatoire par exemple réelle, si elle part de dans telle qu'elle soit mesurable.

    Si on considère une variable aléatoire à valeurs réelles, on s'intéresse souvent à la loi de , c'est-à-dire à : ce qu'on note (c'est la loi de ).
    est une mesure (une probabilité même) sur . C'est la notion de mesure image (mesure image de par ).

    Pour définir correctement , on doit revenir à l'ensemble :

    (car écrire n'a aucun sens comme tu l'as fait plusieurs fois remarquer).

    Ainsi, si tu acceptes les abus de notations probabilistes, tu n'as pas besoin de revenir à l'ensemble car tu écris simplement (en gardant à l'esprit que ça désigne ), par contre si tu refuses ce manque de rigueur, tu ne peux pas te passer de ...

    C'est plus clair ?

    Romain
    Pour conclure: On doit bien faire la distinction entre les deux notions 1 et 2:

    Soit (Omega, F, mu) un espace mesuré
    Soit f: Omega --> R mesurable

    1. Je définis l'ensemble {f >a} (présece des { }) :
    a app R, {f >a} := {w app Omega | f(w) >a} := f -1(]a,+oo)

    2. Je définis une propriété de la fonction f, f >a (absence des { }) :
    f >a <==> pour tout w app Omega, f(w) >a
    Je peux aussi définir cette propriété pp (ou ps si mu est finie) :
    f >a pp <==> mu(f -1(]-oo,a])) = 0

    Ainsi, on change totalement le sens de la notation par la présence ou non des { }, lesquelles ne sont pas toujours présentes pour désigner un ensemble...

    Par exemple, lorsque l'on écrit couramment P(X >a), cela ne désigne pas la probabilité que la fonction X ait la propriété d'être supérieure à a (pourtant c'est ce que dit cette notation) : cela serait la définition d'une probabilité sur un espace de fonctions auquel X appartiendrait.
    Mais cela désigne la probabilité (la mesure) de l'ensemble {X >a}.
    On devrait donc toujours écrire P({X >a}) (présence des { })

  27. #22
    Romain-des-Bois

    Re : Exercice de probabilité

    Citation Envoyé par FAN FAN Voir le message
    Par exemple, lorsque l'on écrit couramment P(X >a), cela ne désigne pas la probabilité que la fonction X ait la propriété d'être supérieure à a (pourtant c'est ce que dit cette notation) : cela serait la définition d'une probabilité sur un espace de fonctions auquel X appartiendrait.
    Mais cela désigne la probabilité (la mesure) de l'ensemble {X >a}.
    On devrait donc toujours écrire P({X >a}) (présence des { })
    Ca y est, j'ai compris ton problème et en même temps, je crois que tu l'as résolu

    Oui, on prend des raccourcis en écrivant ce qu'on devrait écrire et même .

    Romain

  28. #23
    FAN FAN

    Re : Exercice de probabilité

    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    Ca y est, j'ai compris ton problème et en même temps, je crois que tu l'as résolu

    Oui, on prend des raccourcis en écrivant ce qu'on devrait écrire et même .

    Romain
    Oui, en grande partie grâce à nos discussions !

  29. #24
    Romain-des-Bois

    Re : Exercice de probabilité

    Si j'ai pu t'aider, tant mieux !

    Je réitère ma question :
    Par curiosité, tu as suivi à peu près quel genre de programme dans ton cours de probabilités ? (et tu es dans quelle fac ?)
    Je change d'université pour faire un master probas/stats, et j'aimerais savoir à peu près ce qui se fait dans les autres universités

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