Exercice de probabilité...

[julien_4230]

Bonjour.

"Dans la classe, il y a 14 garçons et 18 filles. L'instituteur distribue 5 bonbons. Chaque élève peut recevoir plusieurs bonbons (jusqu'à 5). De combien de façons peut-il distribuer ces 5 bonbons ?

a) "aucun élève n'a reçu plusieurs bonbons"
b) "Christelle (une fille de la classe) n'a reçu aucun bonbon"
c) "Marie a reçu exactement 1 bonbon" "

Solutions : 35^5 possibilités. Pourquoi ?

a) (32*31*30*29*28) / 32^5. Je ne comprends pas.
b) 31^5 / 32^5. Encore pire...
c) (31^4*5) / 32^5. Je suis complètement largué...

Merci de m'aider !
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[invite96ea64f3]

Salut Julien,

ça fait pas mal de temps que je n'ai pas fait de probabilités donc je vais t'expliquer avec mes mots à moi que je vais essayer simple et quelqu'un qui s'y connait mieux que moi pourra compléter ou corriger.

Tout d'abord, tu as 14 garçons et 18 filles donc 32 élèves en tout.
Le prof a 5 bonbons à distribuer.

Calcul de l'ensemble des possibilités :

Pour le premier bonbon, il a le choix entre les 32 élèves.
Pour le deuxième, il a le choix entre 32 élèves, ce qui fait déjà 32*32 possibilités.
Pour le troisième, il a aussi le choix entre 32 élèves, soit 32*32*32 possibilités.
Idem pour le quatrième et le cinquième.
En tout, il y a donc 32*32*32*32*32 possibilités, soit 32^5.

Première question :

"Aucun élève n'a reçu plusieurs bonbons"
Donc :
Pour le premier bonbon, il a le choix entre les 32 élèves.
Pour le deuxième, il ne peut plus en donner à celui qui vient d'en avoir un, il n'a donc plus le choix qu'entre 31 élèves, ce qui fait déjà 32*31 possibilités.
Pour le troisième, il ne peut plus en donner aux deux qui en ont déjà reçu un, donc il a le choix entre 30 élèves, soit 32*31*30 possibilités.
Même raisonnement pour le quatrième et le cinquième.
On a donc 32*31*30*29*28 possibilités.
Pour obtenir la probabilité on divise le nombre de possibilités pour l'évenement (ici "Aucun élève n'a reçu plusieurs bonbons") par le nombre total de possibilités, soit :
(32*31*30*29*28) / 32^5

Voilà déjà pour la première question.
J'espères t'avoir aider,
A plus.

[shokin]

32 élèves dont 14 garçons et 18 filles ! 5 bonbons à distribuer selon certaines règles :

chaque élève reçoit au plus 1 bonbon, soit 0 ou 1 bonbon.
Christelle n'a reçu aucun bonbon. Au moins elle n'aura pas mal aux dents.
Marie a reçu un bonbon.

Ce dont nous sommes sûr est :

Marie a un bonbon (oui !).
Christelle n'a pas eu droit à un bonbon. (non !)

Il reste donc 4 bonbons à distribuer à 30 personnes.

Donc C de 4 parmi 30 = 30!/(4!*(30-4)!) = 30*29*28*27/(4*3*2*1).

Tiens ! ça ne donne pas la même chose !

Oups ! j'ai respecté les trois conditions en un seul problème. Voyons donc chacune séparément :

a) chaque élève reçoit 0 ou 1 bonbon, c'est oui ou c'est non, on ne discute pas avec le prof !

Ben C 5 parmi 32 = 32!/(5!*27!)

Il faut rire, tu dois encore diviser par 5! car ta solution est valable si les 5 bonbons sont considérés comme différents.

b) Christelle n'a pas reçu de bonbon ! (sûrement qu'elle n'en voulait pas)

Il reste donc 5 bonbons parmi 31 élèves !

31!/(5!*26!)

c) Marie a reçu un bonbon. Comment l'a-t-elle mérité ?

Donc C de 4 (bonbons restants) parmi 31 (élèves en attente de la décision suspendieuse du prof)

= 31!/(4!*27!)

Pfff ! tout ça pour des bonbons.

Shokin

[julien_4230]

Merci beaucoup Iforire.

Shokin : tu emploies un ton très marrant. Seulement, les réponses ne sont pas du tout celles de la correction......

Peut-on m'aider pour la b) et la c) s'il vous plaît ?

Merci !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8cc9db4e]

b)

Salut !
Probabilité de l'évènement P(B) = "un elève en particulier ne reçoit pas de bonbons" = "n'implorte quel autre élève reçoit un bonbon" = 31 chances sur 32 = 31/32
Tu répètes cet évènement 5 fois :
(31/32) * ... * (31/32) = 31^5 / 32^5

Tu devrais essayer la c) toi même maintenant. Soit avec des formules d'arrangements et de combinaisons soit avec un peu de logique !

bonne soirée

[doryphore]

Une autre façon de faire, c'est de regarder le cardinal de l'ensemble des éventualités correspondant à l'évènement "Christelle n'a reçu aucun bonbon" qui est 31^5 pour la même raison que le cardinal de l'univers est 32^5.

[invite8cc9db4e]

et la c)

Une petite aide tout de même. Cet évènement se traduit par :
1 / Marie a reçu un bonbon OU à la première distribution OU à la deuxième .... OU à la cinquième
ET
2 / elle n'en a pas reçu sur 4 des 5 tirages pour remplir la condition "exactement"

Un " OU " se traduit par un " + " et un " ET " par un " x " en probabilités (oui, j'en entends qui hurlent au fond de la salle mais tant pis).

Réponse : P(C) = P(1) x P(2)
Essaie de trouver P(1) et P(2) l'un après l'autre si tu as du mal

re-bonne soirée

[shokin]

Une autre façon de faire, c'est de regarder le cardinal de l'ensemble des éventualités correspondant à l'évènement "Christelle n'a reçu aucun bonbon" qui est 31^5 pour la même raison que le cardinal de l'univers est 32^5.

Mais il faudra quand même diviser par 5! il me semble. Puisqu'a priori (ça n'a pas vraiment été précisé) les 5 bonbons sont identiques.

Shokin