recette de cuisine polynome minimal

[vince3001]

Bonjour,
J'aurais aimé une "recette de cuisine" pour calculer le polynome minimal d'une matrice
J'ai cru comprendre que si la matrice est diagonalisable,alors il suffit de la diagonaliser et alors le polynome minimal est le polynome caractéristique de cette matrice (heu d'ailleurs,petite précision...le polynome caractéristique ne dépend pas de la base choisie,c'est bien ça?ds ce cas pas besoin de la diagonaliser...)
et sinon?
Bref comment faire pour calculer un polynome minimal avec une matrice donnée.
Merci
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[Thorin]

les valeurs propres de la matrices sont les racines du polynôme minimale.

[vince3001]

je suis d'accord,vu que le polynome minimal divise le polynome caractéristique.Cependant il n'est pas toujours égal à ce dernier.
Dc il n'est pas suffisant de connaitre les racines...non?

[invitebb921944]

Non ce n'est pas suffisant.

Une méthode qui marche à tous les coups, c'est de calculer les invariants de similitude de ta matrice (tu peux alors directement lire, sur ta matrice transformée, le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de ta matrice).

Une autre méthode qui marche parfois est de trouver plusieurs polynômes annulateurs de ton endomorphisme et d'en déduire le polynôme minimal en utilisant le fait que le polynôme minimal divise tous les polynômes annulateurs de ton endomorphisme.

Le problème (pour donner un exemple), c'est que si et sont annulateurs avec
et (avec , et valeurs propres de ton endomorphisme).
Tu sais que ton polynôme minimal vaut soit , soit mais tu n'as pas assez d'informations pour trancher.

[A voir en vidéo sur Futura]

[vince3001]

malheureusement je n'ai pas vu la premiere méthode en cours...je dois dc me contenter de la seconde...
et si on sait que la matrice est diagonalisable,cela donne-t-il des indication supplémentaire sur le polynome minimal?

[invitebb921944]

Ta matrice est diagonalisable ssi son polynôme minimal n'a que des racines simples.
Tu connais donc le polynôme minimal d'une matrice diagonalisable du moment que tu connais les valeurs propres de l'endomorphisme associé.

Pour la seconde méthode, elle peut quand même permettre de trouver le polynôme minimal, il y a un exemple ici:http://www.dms.umontreal.ca/~math160...an/jordan.html

L'exemple 1 après le théorème 0.1 qui t'explique comment conclure.

[vince3001]

ok,je te remercie de ton dévouement.Merci!