question bête sur la dérivation.

[taladris]

Bonjour,

j'ai un DM à corriger et mes élèves ont tous fait la même chose. Du coup, j'ai peur d'avoir loupé un théorème.

L'exercice: on cosidère la fonction f définie sur IR par f(x)=exp(x) si x<0 et f(x)=ax²+bx+c si x>=0.
Après avoir brillamment que f est continue en 0 si et seulement si c=1, ils doivent montrer que f admet une pente à droite égale à (-1) si et seulement si b=-1 et c=1.
Ma méthode: il faut étudier la limite à droite de (f(x)-f(0))/x.
Leur méthode: ils affirment que si x>0, la dérivée de f est f'(x)=2ax+b et donc que f est dérivable à droite en 0 et que f'(0+)=b.
Cette intervertion de limite me choque mais je ne trouve pas de contre-exemple. Est-ce moi qui ait oublié un théorème ou mes élèves qui ont tous pompé la même connerie?

Merci
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[taladris]

Bon, j'ai la réponse à ma question: la fonction définie par g(x)=exp(x) si x<0 et g(x)=1+sqrt(x) ,x>=0 est continue sur IR, dérivable sur IR^* mais pas en 0.

[Jeanpaul]

Ce qu'ont fait les élèves est juste, mais est-ce bien une pente de -1 en 0+ ? On aurait imaginé une pente +1, histoire que les courbes raccordent.
Il s'agirait ni plus ni moins de faire en sorte que la courbe exponentielle et la courbe parabolique raccordent sans discontinuité de valeur ni de pente.
On peut très bien calculer la dérivée à droite par la formule, on sait que la limite sera la même des 2 côtés pour la fonction trinöme.

[Thorin]

A vrai dire, connaissant la dérivée d'un trinôme, et sachant qu'elle est valable sur R entier, étudier la limite de (f(x)-f(0))/x est inutile, il suffit de faire ce qu'ont fait les élèves.

[A voir en vidéo sur Futura]

[taladris]

A vrai dire, connaissant la dérivée d'un trinôme, et sachant qu'elle est valable sur R entier, étudier la limite de (f(x)-f(0))/x est inutile, il suffit de faire ce qu'ont fait les élèves.

Dit comme ça, ça me va. Le problème, c'est leur rédaction qui suggère une confusion.