Injection et et nombres de sujections

[invite92db4158]

Bonsoir;
j'ai un problème qui me pose plein de question spour savoir comment le commencer:
pour (p,n) appartien a N ², S(p,n) désingne le nombre de de sujections d'un ennsemble à p éléments dans un enssemble à n éléments .
1. pour n >p>=1, calclculer S(p,n).
2.pour p a appartient à N * , calculer S(p,p); S(p,1); S(p,2).
3.a soient E et F eux enssembles de caridnaux respectifs p+1 et p (avec p>=1). on considère une application surjective f:E--> F.
Montrer qu'il existe un unique Y appartient à F ademettant deux antéccédents .
b.En déduire la valeur de S(p+1,p).
on considère que 1<= n <=p.
4.soit q aprtient {0....n-1}
somme(-1)^k(n k)(K q) =0
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[invite92db4158]

pour la première question je ne sais pas de tout comment s'y faire déjà pour commencer pour m'y mettre dans le problème

[sadben2004]

salut doc123 !

C'est quoi la condition nécessaire pour qu'il existe une application surjetive d'un ensemble de p éléments dans un ensemble à n éléments ?

p=3 n = 4
x - > o
x - > o
x - > o
?? -> o

[invite92db4158]

si tout élément de F possède au moins un antécédent

[A voir en vidéo sur Futura]

[sadben2004]

Et c'est quoi la condition sur p et n pour que cela soit possible ?

[invite92db4158]

si l'égalité p=n?

[invite92db4158]

ce n'est pas sa ?

[sadben2004]

C'est plutot p>=n .
Est ce que tu cois pourquoi ?

[invite92db4158]

donc S(p,n)=n^p;

[invite92db4158]

Aidez moi s'il vaut plait

[invite4ef352d8]

n^p c'est le nombre d'application d'un ensemble à p emelement dans un ensemble à n element !
la on te demande le nombre de surjection : il y en a moins.

par exemple, est-ce que tu crois vraiment qu'il existe une surjection de {1,2} sur {1,2,3}

on envoi 1 sur qqch, 2 sur qqch... mais le 3e element n'as aucun antécedent : c'est ce que te demande la première question !

par exemple pour la deuxieme question, tu devrait savoir d'une part qu'une application surjective entre deux ensemble de meme cardinal est automatiquement une bijection et d'autre part que le nombre de bijection d'un ensemble à p element dans lui meme est p!... si ce n'est pas le cas , laisse tomber ton exo et va plutot revoir ton cours !

[invite7ffe9b6a]

Inutile de chercher à exprimer S(p,n) dans le cas générale.
Essaye de répondre à la premiere question.

On prend p<n.

Combien existe-t-il de surjection dans un ensemble de p elements dans un ensemble à n elements?

Autrement dit combien existe -t-il de surjections d'un ensemble fini dans un autre ensemble ayant plus d 'élements?


Voila comment on pourrait representer une surjection entre deux ensembles finis.

Les points sont les elements, les fleches représentent l'application.




Peut-il y avoir plus d'elements dans l'ensemble de droite que dans l'ensemble de gauche???

[invite92db4158]

S i j'ai bien compris il existe pas de sujection, S(p,n)=0

[invite7ffe9b6a]

oui reste à justifier correctement.

Ensuite S(p,p) , S(p,1), S(p,2)?