équivalent "simple" de fonction

[invitea50480c6]

Bonjour à tous,
Voila je bloque sur un exercice où je doit trouver des équivalents de fonctions:

1) x->1-cos2x en 0 : celle la j'ai trouvé: comme 1-cos2x=2sin²x et que sinx est équivalent à x en 0, on a 1-cos2x équivalent à 2x² en 0.

2)x-> x³+e^x en +infini : la par contre je ne voit pas du tout comment faire, d'autant plus qu'on ne peut pas ajouter les équivalents entre eux...

3)x-> ln(cosx) en 0 :

4) x-> e^{sin x} -1 en 0

5) x-> x + tanx - sinx - x cosx en 0 :comme je disais, vu qu'on ne peut pas ajouter les équivalents entre eux, je ne voit pas comment faire...

Si quelqu'un pouvait me donner quelques pistes ce serait sympa
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[invitec053041c]

Salut.

Pour les 3,4,5 fais un développement limité à l'ordre 1 (devrait suffire, pousser l'ordre si necessaire).
Pour le 2, n'oublie pas qu'un polynôme est négligeable à l'infini devant une exponentielle..

[invitea50480c6]

Ok merci pour la 2) ! Par contre je n'ai pas encore vu les développements limités, du coup je ne voit toujours pas comment faire pour les questions 3 4 et 5...

[invitec317278e]

Pour la 3) :
cos(x)=1-2sin²(x/2)


Pour la 4) :
(e^x)-1 est équivalent à x en 0 !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

Pour la 5), j'ai du prendre un papier et un crayon :

Certes, les équivalent ne s'ajoutent pas, mais ça peut donner des idées :
x vaut à peu près x
tan(x) vaut à peu près x
sin(x) vaut à peu près x
cos(x) vaut à peu près 1-x²/2, donc xcos(x) vaut à peux près x-(x^3)/2.

On ajoute le tout comme pour ton expression, et on obtient que ton expression vaut à peux près (x^3)/2...mais ce n'est absolument pas une preuve !
En revanche, on peut voir si par chance, (x^3)/2 ne conviendrait pas...et on a du bol, parce qu'il convient !
(pour le prouver, la seule partie difficile est de se souvenir que (cos(x))/x² tend vers 0,5 en 0.

[invitec053041c]

Ok merci pour la 2) ! Par contre je n'ai pas encore vu les développements limités, du coup je ne voit toujours pas comment faire pour les questions 3 4 et 5...

au temps pour moi alors.

[invitea50480c6]

Pour la 3) :
cos(x)=1-2sin²(x/2)

Dois-je en déduire que ln(cosx) est équivalent à ln(1-x²/2) en 0?

[sadben2004]

Et c'est quoi un equivalent de ln(1 + x) au voisinage de 0 ?

[invitea50480c6]

Est ce que quelqu'un aurait également une idée pour trouver les équivalents des fonctions suivantes:
6)x->Arccosx en 1

7)x-> racine(x+1) - racine(x²+1) en 0

[invitea50480c6]

..Personne n'a une petite idée ?

[inviteaf1870ed]

Pour le 7 pense à multiplier par la quantité conjuguée...

[invitec317278e]

si, bien sûr ;
pour arccos en 1, tu peux chercher du côté de cos en O, en prenant la réciproque.

Pour la deuxième, on peut commencer par multiplier haut et bas par le conjugué, ou peut être se servir de la tangente en 0...