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équivalent "simple" de fonction



  1. #1
    <Hammer>

    Smile équivalent "simple" de fonction


    ------

    Bonjour à tous,
    Voila je bloque sur un exercice où je doit trouver des équivalents de fonctions:

    1) x->1-cos2x en 0 : celle la j'ai trouvé: comme 1-cos2x=2sin²x et que sinx est équivalent à x en 0, on a 1-cos2x équivalent à 2x² en 0.

    2)x-> x3+ex en +infini : la par contre je ne voit pas du tout comment faire, d'autant plus qu'on ne peut pas ajouter les équivalents entre eux...

    3)x-> ln(cosx) en 0 :

    4) x-> esin x -1 en 0

    5) x-> x + tanx - sinx - x cosx en 0 :comme je disais, vu qu'on ne peut pas ajouter les équivalents entre eux, je ne voit pas comment faire...

    Si quelqu'un pouvait me donner quelques pistes ce serait sympa

    -----

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  3. #2
    Ledescat

    Re : équivalent "simple" de fonction

    Salut.

    Pour les 3,4,5 fais un développement limité à l'ordre 1 (devrait suffire, pousser l'ordre si necessaire).
    Pour le 2, n'oublie pas qu'un polynôme est négligeable à l'infini devant une exponentielle..
    Cogito ergo sum.

  4. #3
    <Hammer>

    Re : équivalent "simple" de fonction

    Ok merci pour la 2) ! Par contre je n'ai pas encore vu les développements limités, du coup je ne voit toujours pas comment faire pour les questions 3 4 et 5...

  5. #4
    Thorin

    Re : équivalent "simple" de fonction

    Pour la 3) :
    cos(x)=1-2sin²(x/2)


    Pour la 4) :
    (e^x)-1 est équivalent à x en 0 !
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  6. #5
    Thorin

    Re : équivalent "simple" de fonction

    Pour la 5), j'ai du prendre un papier et un crayon :

    Certes, les équivalent ne s'ajoutent pas, mais ça peut donner des idées :
    x vaut à peu près x
    tan(x) vaut à peu près x
    sin(x) vaut à peu près x
    cos(x) vaut à peu près 1-x²/2, donc xcos(x) vaut à peux près x-(x^3)/2.

    On ajoute le tout comme pour ton expression, et on obtient que ton expression vaut à peux près (x^3)/2...mais ce n'est absolument pas une preuve !
    En revanche, on peut voir si par chance, (x^3)/2 ne conviendrait pas...et on a du bol, parce qu'il convient !
    (pour le prouver, la seule partie difficile est de se souvenir que (cos(x))/x² tend vers 0,5 en 0.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Ledescat

    Re : équivalent "simple" de fonction

    Citation Envoyé par <Hammer> Voir le message
    Ok merci pour la 2) ! Par contre je n'ai pas encore vu les développements limités, du coup je ne voit toujours pas comment faire pour les questions 3 4 et 5...
    au temps pour moi alors.
    Cogito ergo sum.

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  10. #7
    <Hammer>

    Re : équivalent "simple" de fonction

    Citation Envoyé par Thorin Voir le message
    Pour la 3) :
    cos(x)=1-2sin²(x/2)
    Dois-je en déduire que ln(cosx) est équivalent à ln(1-x²/2) en 0?

  11. #8
    sadben2004

    Re : équivalent "simple" de fonction

    Et c'est quoi un equivalent de ln(1 + x) au voisinage de 0 ?
    Science sans consience n'est que ruine de l'âme

  12. #9
    <Hammer>

    Re : équivalent "simple" de fonction

    Est ce que quelqu'un aurait également une idée pour trouver les équivalents des fonctions suivantes:
    6)x->Arccosx en 1

    7)x-> racine(x+1) - racine(x²+1) en 0

  13. #10
    <Hammer>

    Re : équivalent "simple" de fonction

    ..Personne n'a une petite idée ?

  14. #11
    ericcc

    Re : équivalent "simple" de fonction

    Pour le 7 pense à multiplier par la quantité conjuguée...

  15. #12
    Thorin

    Re : équivalent "simple" de fonction

    si, bien sûr ;
    pour arccos en 1, tu peux chercher du côté de cos en O, en prenant la réciproque.

    Pour la deuxième, on peut commencer par multiplier haut et bas par le conjugué, ou peut être se servir de la tangente en 0...
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

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