constante a>0

[aNyFuTuRe-]

Salut a tous,

Voila dans mon DM, je bute sur une question assez "étrange": il s'agit de démonter qu'il existe une constante a>0 telle que

Quelqu'un a une idée pour la facon de procéder ? doit y avoir une astuce... :/

Merci pour votre aide,

CYaz
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[invitec053041c]

Salut,

Il faut utiliser le fait que xt=<(x²+t²)/2 et d'autres majorations grossières, du genre 3y²>=y² et normalement ça vient tout seul si jme trompe pas.

edit: mes indications ne suffisent pas, je regarde comment mieux faire.

[aNyFuTuRe-]

Salut,

Il faut utiliser le fait que xt=<(x²+t²)/2 et d'autres majorations grossières, du genre 3y²>=y² et normalement ça vient tout seul si jme trompe pas.

edit: mes indications ne suffisent pas, je regarde comment mieux faire.

En effet, j'ai rechercher parmi les maj grossières a chaque fois j'aboutit a quelque chose de pas intéréssant... Merci pour ta recherche c'est cool

[Garf]

A l'instinct, la constante optimale est . En tous cas, il est certain qu'on ne peut pas faire mieux (sinon, (0,0) serait un point selle, voire un minimum local, d'une certain fonction nulle en (0,0) et que l'on veut négative).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

A l'instinct, la constante optimale est .

Sacré instinct .

[aNyFuTuRe-]

Pourrais tu nous montrer la voie alors ? parce que je t'avoue que le racine de 5 passe assez mal ^^... Comment le démontres tu ?

Merci d'avance

[Thorin]

poser : permet vite de ramener le problème à une seule variable.

[Garf]

Soit .
f(0,0)=0. On veut f négative. Nécessairement, (sinon, on prend x=t et on voit le problème...).
Le calcul de la matrice hessienne donne en tout point :

La plus grande de ses valeurs propres est :

Sachant que l'on a déjà , celle-ci est strictement positive si et seulement si , donc si et seulement si .
Maple me dit après que cette constante marche effectivement, mais le calcul est moche. Pour éviter ce passage douloureux, prenons . f est une forme quadratique nulle en (0,0), et de matrice hessienne strictement négative. Là, il me manque un petit argument, mais il est raisonnable de penser que f est négative partout. Par continuité, ce résultat est toujours valable en .

~~~~~

Voilà pour l'analyse. Pour la synthèse, prenons . On voit que des vecteurs propres de la matrice hessienne sont :
et
(le premier se calcule aisément, le second s'en déduit car ils sont orthogonaux)
On a alors pour certains et :

(la valeur propre correspondante est nulle).
.
Evalà.

~~~~~

Bon, j'ai beaucoup détaillé, mais on peut en zapper pas mal en connaissant un peu les formes quadratiques ^^
Et d'accord, c'était pas le plus simple (cf. Thorin).

[Thorin]

A vrai dire, ce que je propose est sans nul doute plus simple au niveau conceptuel (niveau sup', alors que Garf développe du niveau L3), mais pas mal calculatoire pour retombe sur le résultat de garf.
vu que j'ai fait les calculs, je les poste... :

Il s'agit d'étudier la fonction

En passant en polaire comme sus-indiqué, on arrive immédiatement à la fonction
(le rho se simplifie, c'est la beauté de la chose !)
On veut trouver un minimum, pour cela on dérive (et au passage, je change renomme theta en x, plus rapide à écrire) :

On cherche les racines, elles vérifient :

D'où on tire :

Comme la fonction f est clairement de période pi, il suffit d'étudier 2 racines séparées de pi/2 pour trouver le minimum, et comme la dérivée de f est négative en 0, on déduit que le minimum de f est atteint en .

Et pour la beauté du truc, j'aimerais arriver à la constante donnée par Garf.

Pour cela, on réinjecte b dans f, mais d'abord, on prend conscience de trois choses :
-
(ca se montre facilement avec le dessin du cercle trigro, et avec théorème de pythagore ; ou de manière moins jolie avec la formule
-
-

Le calcul est ensuite simple et on retombe sur le résultat de Garf.

C'est fini, on a minoré f par un réel strictement positif...

[aNyFuTuRe-]

Okay merci a vous deux c'est cool et ca me sautait pas aux yeux

CYaz