QQ questions de topologie

[invite781ac61b]

Salut, y aurait-il une âme bienveillante pour répondre aux problèmes suivants ?

- Dans (E,d) un espace métrique, est-ce qu'une boule fermée est convexe ?

- montrer que l'enveloppe convexe d'un fermé n'est pas toujours fermée

Merci beaucoup
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[invite7ffe9b6a]

Qu'as-tu fais pour l'instant?

[invite7ffe9b6a]

(E,d) est un espace métrique issue d'une norme ou pas ?

[invite2c3ff3cc]

Salut, y aurait-il une âme bienveillante pour répondre aux problèmes suivants ?
- Dans (E,d) un espace métrique, est-ce qu'une boule fermée est convexe ?
- montrer que l'enveloppe convexe d'un fermé n'est pas toujours fermée

Mais comment définis-tu la convexité ailleurs que dans un evn ?

Pour le deux prends par exemple l'enveloppe convexe de (0,0) U {(x,1/x), x > 0} (hyperbole + origine).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite781ac61b]

Désolé pour le 1! C'est vrai que la convexité est définie dans un evn. En fait, je cherche l'exemple d'un espace métrique où je trouverais une boule ouverte dont l'adhérence n'est pas la boule fermée.

Enfin, merci de m'avoir filé le contre exemple du 2.

[invite769a1844]

En fait, je cherche l'exemple d'un espace métrique où je trouverais une boule ouverte dont l'adhérence n'est pas la boule fermée.

la métrique discrète fournit ce genre de contre-exemple dès que tu la mets sur un ensemble non réduit à un point.

[invite57a1e779]

Mais comment définis-tu la convexité ailleurs que dans un evn ?

La convexité peut se définir dans tout espace vectoriel réel, qu'il soit normé ou non...

C'est une propriété géométrique, non pas topologique.

[invite2c3ff3cc]

Ok, évidemment. Mais bon, on parlait de topologie là ...

[invite57a1e779]

Les espaces vectoriels topologiques localement convexes ne sont généralement pas normés, mais disposent de la notion de convexité...

[invite2c3ff3cc]

Ca va aider Carlos ça ....

[invite57a1e779]

Ca va aider Carlos ça ....

Je faisais simplement remarquer que la notion de convexité était définie et utilisée en dehors des espaces normés.

Sur l'espace vectoriel des fonctions continues de dans , on définit une distance par pour laquelle (si mes souvenirs sont bons) les boules ne sont pas convexes.

[invite2c3ff3cc]

Ou plus simplement f((x,y)) = inf (|x+|y|/2, |x|/2 + |y|) et d(X,Y) = f(X-Y) dans IR²