Sujet mines pont 2005

[inviteb76dff77]

Bonjour, je n'ai pas pour habitude de faire mes devoirs sur internet mais je suis face a un sujet de mines-ponts 2005 où une question me bloque pour toute la suite du probleme... Votre aide en serait pas de refus :

Soit H={ f>0 continues sur IR tel qu'il existe p>0 ( dépendant de f) où l'on ait pour tout x : 0<f(x)=< (exp((1/2 -p)x²))/p }
Soit Ho le sous ensemble de H des fonctions f telles que l'intégrales de f(u).exp(-u²/2) de -infini a +infini soit égale a l'intégrale de exp(-u²/2 sur les memes bornes et égale a racine(2. Pi)
Pour cette question f désigne un élément de Ho

On me demande démontrer que la fonction Ff : x-> int( f(u).exp(-u²/2) , u= -infini .. x) est un C1 difféomorphisme de IR sur ]0,racine(2.Pi)[

Sachant qu'un difféomorphisme est une application C1 dont la bijection récproque est elle meme une application C1 j'essaye de montrer cela mais comment trouver la réciproque d'une telle fonction?? J'en suis arrivé a la conclusion qu'il doit y avoir une autre méthode ! Mais laquelle??

Ps: Je ne suis pas trés familier des notations mathématiques sur un ordi dsl si c'est assez illisible...

Merci bonne journée
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Le fait que est de classe est assez facile à établir.

Ensuite il suffit d'utiliser le théorème de la bijection réciproque pour démontrer que existe et est aussi de classe , tout en réglant le problème des intervalles entre lesquels réalise une bijection.

[invitec053041c]

Salut,

Tu n'es pas obligé d'expliciter la fonction réciproque pour pouvoir connaître certaines de ses propriétés .
Déjà, il te faut montrer que cette application admet une réciproque. Regarde par exemple du côté de sa monotonie..
Si tu as réussi à montrer l'existence de l'application f-1, et sachant que f est C1, il suffit que f' ne s'annule pas pour que (f-1)' soit définie et continue.

EDIT: grillé par god's breath, qui a mieux expliqué que moi .

[invite57a1e779]

EDIT: grillé par god's breath, qui a mieux expliqué que moi .

Non Ledescat, je n'ai pas vraiment mieux expliué que toi, car tu soulignes le point important des théorèmes sur la bijection réciproque :

Tu n'es pas obligé d'expliciter la fonction réciproque pour pouvoir connaître certaines de ses propriétés .

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb76dff77]

Pour établir que la fonction est C1 je peux simplement dire que c'est l'intégrale du produit de fonctions bornées postives et c1 sur l'intervalle considéré et que par les théorémes généraux elle est elle meme C1? ou c'est un peu léger ^^

Ensuite il est évident que cette fonction est croissante puisque f(u).exp(-u²/2) est positive.
On sait par ailleurs que la borne sup de Ff est racine(2.Pi) car f appartient a lensemble Ho.

Par contre je ne sais pas dérivé une intégrale a borne infinie ...

[inviteb76dff77]

Je viens de comprendre^^ la fonction est strictement croissante ( et c'est ce qui me manquait) donc forcément la dérivée ne peut pas s'annuler !

On me demande ensuite de montrer qu'il existe une fonction de IR dans IR telle que

J'ai donc effectuer le changement de variable .
J'obtiens le systeme




Je me demande si c'est bien ca et si je peux améliorer ce résultat??

merci

[inviteb76dff77]

je crois que je me trompe ca si je résoud avec seulement les deux premieres équation je trouve que la 1ere équation détermine la fonction f(t) obligatoirement... Ce qui, je pense, est faux !

Avez vous une idée?

[invite57a1e779]

Bonsoir,

L'égalité est en fait , et il est facile d'en déduire puique est bijective.

[inviteb76dff77]

Je comprend pour la démo de l'unicité mais est ce que je peux en tirer une expression??
Parce que on me demande ensuite de montrer la monotonie et de calculer

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