Le succeseur d'un réel

[invitee1c6d6b1]

Bonjour.

Dans lN, le successeur de n, c'est n+1.

Supposons que dans lR, le successeur de x, soit x+1/n quand "n" tend vers l'infini.

Si "n" atteint l'infini, 1/n=0 et donc le "successeur" de x, c'est x lui même. cad que si on aligne les "x" sur une droite, à partir de zéro, au bout d'une infinité d'"x", on sera toujours à zéro.

Mais si "n" ne fait que tendre vers l'infini sans jamais l'atteindre, alors x+1/n est différent de "x" et là l'alignement des "x" trace la droite lR.

Si "n" n'atteint jamais l'infini, les suites convergentes n'atteignent jamais leur limite; et donc en théorie les irrationnels n'existent pas !

C'est clair non ?
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[Médiat]

Mais si "n" ne fait que tendre vers l'infini sans jamais l'atteindre

Dans une limite de suite indexée par n, n n'atteint jamais l'infini, puisque l'infini n'est pas un entier.

Si "n" n'atteint jamais l'infini, les suites convergentes n'atteignent jamais leur limite; et donc en théorie les irrationnels n'existent pas !

A part les suites constantes à partir d'un certain rang, les suites "n'atteignent" jamais leur limite ; pour toutes suites de rationnels tendant vers racine(2), aucun élément de ces suites n'est égal à racine de 2, personnellement j'en déduis que racine(2) n'est pas rationnel, ce que l'on peut toujours dire "racine(2) n'existe pas" si on travaille dans les rationnels.

[invitee1c6d6b1]

persistons dans l'absurde.

L'infini n'appartient pas à lN.
Pour que les irrationnels existent en dehors de Q, il faut que "n" "sorte" de lN pour atteindre l'infini. Si "n" sort de lN , "n" n'est pus un entier naturel. Il serait un entier "extranaturel".

Est ce que les mathématiciens ont étudié quelque chose qui ressemble à des entiers extranaturels ?

[Médiat]

Est ce que les mathématiciens ont étudié quelque chose qui ressemble à des entiers extranaturels ?

1. Les ordinaux
2. Les cardinaux
3. Les modèles non standard de l'arithmétique
4. Toutes les extensions de IR tendant à gérer les infinitésimaux (entre autres) :
   1. * Nombres surréels
   2. * Nombres hyperréels (analyse non standard)
   3. * Nombres superréels
   4. * Nombres super-réels (pas les mêmes)
   5. * Analyse infinitésimal de Bell

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

Est ce que les mathématiciens ont étudié quelque chose qui ressemble à des entiers extranaturels ?

regarde peut-être du côté de l'analyse non standard. Dans cette théorie un réel n'a pas de successeur mais il y a des réels (non standards) plus petits que 1/n pour tous les n simultanément (si je me souviens bien)

[invitee1c6d6b1]

Je n'y comprend plus rien.

Soit aleph 0 ou @0, cardinal de lN.
aleph 1 ou @1 cardinal de lR.

@1=2^@0

Soit n tel que @0<n<@1

Est ce que n=n+1 ? dans ce cas "successeur" ne veut plus rien dire.
Pauvre Péano.

[Médiat]

Soit cardinal de lN.

Oui, c'est la définition de

cardinal de lR.

Non, ce n'est pas un résultat général, le cardinal de est

Il faut un axiome supplémentaire pour pouvoir écrire cela : l'hypothèse du continu (qui a gardé son nom d'hypothèse pour des raisons historiques)

Soit n tel que

Ca c'est le contraire de l'hypothèse du continu, donc incompatible avec l'hypothèse du continu.

Est ce que n=n+1 ?

Si la question est de savoir s'il existe des cardinaux pour lesquels , la réponse est oui, il y a même bien pire ...

dans ce cas "successeur" ne veut plus rien dire.

Si, par exemple est le successeur de , d'une façon plus générale, si est un ordinal, est le successeur de . La notion de successeur sur les cardinaux est bien définie puisque les cardinaux sont des ordinaux (qui sont des bons-ordres ...)

Pauvre Péano.

Quel rapport avec Peano ? Les axiomes de Peano concernent les entiers, personne n'a jamais dit que les cardinaux transfinis étaient des entiers.

[invitee1c6d6b1]

Très bien.

@1=2^@0

est équivalent à

@1=@0+1, puisque @1 est le successeur de @0

Mais il ne peut pas y avoir "1" entre @0 et @1, du fait de l'hypothèse du continu, hypothèse que je ne connait pas ou que je n'arrive pas à comprendre.
Si @0 et @1 sont continu, seraient-ils comme deux réels "contigus" ?

[Médiat]

est équivalent à
, puisque est le successeur de

Pour écrire la première ligne, il faut HC, soit, mais même avec cette hypothèse le reste de la phrase est faux :

Avec HC on peut écrire que
Avec ou sans HC .

PS : essaye de faire l'effort de noter correctement les aleph, il suffit de cliquer sur le bouton "citer" pour voir coment faire.

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

J'irais effectivement voir du côté de l'analyse non standard (ANS) avec laquelle je me suis un peu amusé il y a une quinzaine d'années. Mais attention, ça ne permet guère que de reformuler de manière plus concise certaines démonstrations classiques. Je n'ai jamais entendu parler d'un théorème récalcitrant qui aurait été démontré grâce à l'ANS.

En ANS il existe des entiers naturels "illimités" (pas "infinis" !). Lesquels ? On n'en sait rien, mais comme on ne peut pas non plus prouver qu'il n'y en a pas, pourquoi s'en priver ? Si on appelle "entiers standard" les entiers usuels {0, 1, 2, ...} on a la propriété :

Pour tout entier illimité N et tout entier standard n, n < N.

Mais, pour autant, N+1 reste différent de N.

Il existe aussi des réels "infinitésimaux" (construits par exemple par coupure des rationnels p/q avec p et q standard ou non). Ils ont la propriété d'être plus petits (en valeur absolue) que tout réel standard donné à l'avance.

Maintenant, voyons la définition de la convergence d'une suite (u_n) vers une limite u. C'est

Pour tout e>0, il existe un indice n₀ tel que, pour tout n>n₀, |u_n-u|<e.

Pour tout n>n₀, autant dire que ça vaut pour tout n illimité. Et |u_n-u|<e pour tout e, ça veut dire que |u_n-u| est infinitésimal. Autrement dit,

Pour tout entier illimité N, |u_N-u| est infinitésimal.

Ce qui est très intuitif. Les majorations habituelles (souvent pénibles) sont "empaquetées" une fois pour toutes dans les notions d'illimité et d'infinitésimal.

Oui, c'est une entourloupe.

Cordialement,

-- françois

[Médiat]

Je n'ai jamais entendu parler d'un théorème récalcitrant qui aurait été démontré grâce à l'ANS.

Certaines démonstration sont simplifiées par le formalisme de l'ANS, et il me semble que le théorème de Freiman a été démontré en passant par l'ANS.

[invite6de5f0ac]

Certaines démonstration sont simplifiées par le formalisme de l'ANS, et il me semble que le théorème de Freiman a été démontré en passant par l'ANS.

C'est exactement mon opinion : l'ANS, en "empaquetant" les techniques de majoration usuelles, permet de mettre en évidence la structure de la démonstration, en faisant passer le côté purement technique à l'arrière-plan.
Cela dit, je ne connaissais pas le théorème de Freiman (et, évidemment, je n'en ai jamais vu de démonstration, j'en suis encore à Googler), mais il pourrait m'être utile : j'ai un groupe qui est "presque" de Coxeter, et j'aimerais bien savoir à quelle(s) conditions il n'explose pas trop vite... Les exemples que j'ai ne suggèrent aucune classification naturelle, mais il y a manifestement des cas qui, intuitivement, se regroupent par familles. Je regarde donc de plus près.

Merci,

-- françois

P.S. -- En googlant pour "théorème de Freiman", je tombe, dans les 10 premières réponses, sur un papier de Nicolas (J.-L.) et Sárközy (A.). Vu le papier en question, ça n'a pas l'air d'être un gag...

[invitee1c6d6b1]

si n2 = 2^n1 , n2 n'est pas le successeur de n1.

Les ne sont pas des entiers naturels.

Si est le successeur de et que le premier est 2 exponentiel deuxième, je me pose une question :

Existe-t-il des "infranaturels" que je note § tel que

(n+1)= §^(n) ou § serait l'équivalent d'un "2" infranaturel ?

[Médiat]

Avec HC

si n2 = 2^n1 , n2 n'est pas le successeur de n1.

Cela dépend de la théorie dans laquelle on travaille (avec ou sans HGC) et de ce que représente n1 et n2.

Les ne sont pas des entiers naturels.

Effectivement

Si est le successeur de

Il n'y a pas de si, c'est la définition des aleph (je suppose que n représente un ordinal).

Si est le successeur de et que le premier est 2 exponentiel deuxième,

Je crois comprendre , si c'est le cas, alors il s'agit sans doute de l'hypothèse généralisée du continu.

je me pose une question :

Existe-t-il des "infranaturels" que je note § tel que
(n+1)= §^(n) ou § serait l'équivalent d'un "2" infranaturel ?

Je ne suis pas certain de comprendre, mais quand on écrit , le 2 représente un ensemble à deux éléments (c'est un cas particulier de l'exponentiation ordinal), comme je ne sais pas ce que pourrait être un ensemble à 1,5 éléments ...

[invite69d38f86]

L'axiome du choix qui semble assez naturel implique, si mes souvenirs sont bons, que sur tout ensemble il existe un bon ordre.
Ainsi avec cet ordre, il existe sur R un plus petit élément r0,
le complémentaire de r0 possède un plus petit élément r1 etc
si l'on prend un réel x on peut considérer l'ensemble des nbs <= x. son complémentaire possède un plus petit élément! (le successeur de x)
Pour répondre au titre du fil: oui tout réel possède un successeur mais pas avec l'ordre habituel l'ordre habituel et si l'on accepte l'axiome du choix.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Bon_ordre

[Médiat]

si l'on prend un réel x on peut considérer l'ensemble des nbs <= x. son complémentaire possède un plus petit élément! (le successeur de x)

Ce n'est pas tout à fait exact, le complémentaire peut être vide .

Cela marche quand même si on dit, que l'axiome du choix (c'est mieux de le prendre pour parler de cardinaux de toute façons) permet d'affirmer que toute classe d'équipotence contient des ordinaux, et que le plus petit d'entre eux est forcément un ordinal limite (dans le cas infini), en utilisant cet ordinal pour établir une bijection avec IR, alors cette bijection induit un bon ordre pour lequel chaque élément à un successeur (et un seul). Mais du coup on a perdu toutes les raisons d'appeler cet ensemble IR, puisque seul son cardinal perdure du IR que nous connaissons.

[invitee1c6d6b1]

les ne sont donc pas des entiers naturels.
Sont-ils des réels? J'en n'est pas l'impression.

Ce serait donc des nombres ;mais à quel ensemble de nombres appartiennent-ils ?

[Médiat]

les ne sont donc pas des entiers naturels.
Ce serait donc des nombres ;mais à quel ensemble de nombres appartiennent-ils ?

A aucun ensemble, la classe des cardinaux est une classe propre

[invitee1c6d6b1]

Mais ce sont bien des nombres, et comme tout nombre il faut bien qu'ils soient d'un ensemble.
Et en plus on peut les "situer" par rapport aux autres nombres, à savoir qu'ils sont supérieurs à tout n ou tout x appartenant respectivement à lN et àlR.

[invité576543]

Mais ce sont bien des nombres, et comme tout nombre il faut bien qu'ils soient d'un ensemble.

Non. Les ordinaux ne forment pas un ensemble ("paradoxe" de Burali-Forti). J'imagine que ça empêche aussi de parler de l'ensemble des cardinaux.

Cordialement,

[Médiat]

Mais ce sont bien des nombres, et comme tout nombre il faut bien qu'ils soient d'un ensemble.

Je ne sais pas ce que tu appelles "nombres" et donc je ne sais pas si avec cette définition les cardinaux sont des "nombres", et je ne sais donc pas quelle est cette règle qui dit que toute collection de "nombres" doit former un ensemble ...

Et en plus on peut les "situer" par rapport aux autres nombres, à savoir qu'ils sont supérieurs à tout n ou tout x appartenant respectivement à lN et àlR.

Et alors ?

[invite6754323456711]

Bonjour,

Quel est en fait la définition formelle d'un nombre cardinal ?

Celle de Frege me convenais bien

La relation d'équipotence étant réflexive, symétrique et transitive sur la classe des ensembles, chaque classe d'équivalence est appelée nombre cardinal ou simplement cardinal.

Mais il est aussi dit :

Cette définition qui paraît très naturelle se présente parfois dans les exposés élémentaires de la théorie des ensembles ; cependant son usage pose des problèmes d'ordre logique, en particulier elle est incompatible avec les théories usuelles où soit on ne considère que des ensembles, soit on considère des classes propres mais qui ne peuvent être éléments d'autres classes. Ces problèmes s'apparentent au paradoxe de Russell.

Patrick

[Médiat]

Quel est en fait la définition formelle d'un nombre cardinal ?

Personnellement j'évite de dire nombre cardinal, ne serait-ce que pour éviter quelques confusions.
La définition de Frege est correcte, elle est valable même sans axiome du choix, mais dans ce cadre (sans AC) la notion de cardinal n'est pas très riche.
Avec l'axiome du choix, la même définition permet de donner notion plus riche et une définition équivalente qui permet de manipuler les cardinaux plus facilement) : un cardinal est le plus petit ordinal d'une classe d'équipotence.

[invite6754323456711]

un cardinal est le plus petit ordinal d'une classe d'équipotence.

La difficulté avec cette définition c'est quel lie la notion de cardinal à celle d'ordinal (même si un cardinal est un ordinal). Donc indirectement à une notion d'ordre (de type d'ordre).

L'ordinal fait apparaitre la notion d'isomorphisme (structure).

Intuitivement un ordinal est une mesure de bon ordre, un cardinal est une mesure de quantité d’éléments (en vrac, sans ordre).


Patrick

[Médiat]

La difficulté avec cette définition c'est quel lie la notion de cardinal à celle d'ordinal (même si un cardinal est un ordinal). Donc indirectement à une notion d'ordre (de type d'ordre).

Pas vraiment puisque ω +1 a le même cardinal que ω alors que ce n'est pas le même ordinal c'est à dire pas le même type d'ordre.

L'ordinal fait apparaitre la notion d'isomorphisme (structure).

La bijection est déjà une notion d'isomorphisme.

Intuitivement un ordinal est une mesure de bon ordre, un cardinal est une mesure de quantité d’éléments (en vrac, sans ordre).

Et voila la source de toutes les confusions, c'est une mesure (si tu veux) de la classe d'équipotence d'un ensemble et c'est tout (il serait bon de réserver les expressions nombre ou quantité d'éléments aux ensembles finis).

[invite6754323456711]

Pas vraiment puisque ω +1 a le même cardinal que ω alors que ce n'est pas le même ordinal c'est à dire pas le même type d'ordre.

Oui je me suis mal exprimé. Ce n'est pas lié que je voulais dire mais : il devient nécessaire de comprendre la notion d'ordinal pour comprendre la notion de cardinal dans le cas des ensembles infinis.

Si le cardinal n'est défini qu'a partir de la notion d'équipotence cela permet de comprendre (comme tu le fais remarqué) que le cardinal pour les ensembles infinis n'est pas une notion de nombre ou de quantité. Par exemple L'ensemble des entiers naturels pairs sont inclus dans l'ensemble des entiers naturels. Ces deux ensemble sont pourtant équipotent.

La notion ordinal (plus petit ordinal) permet donc de définir la valeur du cardinal ?




Ou autrement dit la relation d'équipotence est une relation d'équivalence. On assimile la classe d'équivalence à un seul et même élément (puisque tous les éléments de la classe sont similaires) qui est (ou qui a ?) le plus petit ordinal ?

La bijection est déjà une notion d'isomorphisme.

L'isomorphisme est tout de même plus riche (et donc plus complexe à comprendre) car il fait intervenir une notion de conservation de structure (dans le cas des ensembles une relation d'ordre). Un morphisme entre deux ensembles ordonnés est une application croissante (une application qui préserve l'ordre).

Si ( A, ⊑ ) et ( B, ≼ ) sont des ensembles ordonnés et f est une application de A dans B, f est un morphisme si pour tout x et y dans A tels que x ⊑ y, on a f(x) ≼ f(y).

un isomorphisme est un morphisme f entre deux ensembles munis de la même espèce de structure, tel qu'il existe un morphisme f' dans le sens inverse, tels que f rond f' et f' rond f sont les identités des structures.

Patrick

[Médiat]

La notion ordinal (plus petit ordinal) permet donc de définir la valeur du cardinal ?



Ou autrement dit la relation d'équipotence est une relation d'équivalence. On assimile la classe d'équivalence à un seul et même élément (puisque tous les éléments de la classe sont similaires) qui est (ou qui a ?) le plus petit ordinal ?

Oui, et c'est l'axiome du choix qui permet d'affirmer que toutes les classes d'équipotence contiennent des ordinaux.

L'isomorphisme est tout de même plus riche (et donc plus complexe à comprendre) car il fait intervenir une notion de conservation de structure.

L'absence de structure n'est qu'une structure particulière, d'ailleurs, dans la catégorie des ensembles ce sont les applications qui tiennent lieu de morphisme, et donc les bijections en sont les isomorphismes.

(dans le cas des ensembles une relation d'ordre)

Non, ce que l'on peut dire c'est "dans le cas des ordinaux, les morphismes sont les applications croissantes, il n'y a, a priori, pas de relation d'ordre sur les ensembles.

[invite6754323456711]

Non, ce que l'on peut dire c'est "dans le cas des ordinaux, les morphismes sont les applications croissantes, il n'y a, a priori, pas de relation d'ordre sur les ensembles.

Comment peut-on définir la notion de croissance sans relation d'ordre ?

Patrick

[Médiat]

Comment peut-on définir la notion de croissance sans relation d'ordre ?

C'est bien pourquoi je dis que la relation d'ordre concerne les ordinaux, pas les ensembles dans leur généralité.

[invite6754323456711]

C'est bien pourquoi je dis que la relation d'ordre concerne les ordinaux, pas les ensembles dans leur généralité.

Oui effectivement j'ai mal lu car dans mon esprit (transitivité de l'implication) : cardinal ---> ordinal --> une relation d'ordre doit exister donc cardinal ---> relation d'ordre.

la relation doit être alors plutôt relation d'ordre ---> ordinal (émane) ?

Patrick