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Partie entière d'un réel



  1. #1
    Gaara

    Partie entière d'un réel


    ------

    Bonjour à tous

    je voudrais vous demander comment on démontre cette propriété :

    -------------------------Propriété----------------------------

    Soit

    Il existe un entier relatif unique tel que



    -------------------------------------------------------------

    Donc voilà mais j'aimerais que vous m'indiquez une piste pour le démontrer


    Merciiiiiiiii


    -----
    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

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  3. #2
    Gaara

    Re : Partie entière d'un réel

    mdr la propriété du siècle ... personne ??
    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

  4. #3
    invite19431173

    Re : Partie entière d'un réel

    Salut !

    Ca se démontre ?

  5. #4
    Guillaume.B

    Re : Partie entière d'un réel

    Ce ne serait pas plutôt ça à démontrer ?

    [x] <= x < [x] + 1

    avec [x] la partie entière de x, avec [x] = x si et seulement si x est entier.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Gaara

    Re : Partie entière d'un réel

    Citation Envoyé par Guillaume.B Voir le message
    Ce ne serait pas plutôt ça à démontrer ?



    avec [x] la partie entière de x, avec [x] = x si et seulement si x est entier.
    En effet c'est çà qu'il faut démontrer mdr et oui çà ce démontre
    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

  8. #6
    Médiat

    Re : Partie entière d'un réel

    Pour les Réels x positifs : soit E l'ensemble des entiers supérieurs à x, cet ensemble n'est pas vide (soit x < 1 et il contient 1, soit par la propriété d'Archimède, il existe un entier n tel que 1 x n > x) or, N muni de la relation d'ordre habituel est un bon ordre, donc E contient un plus petit élément. Ce plus petit élément est le (p+1 que tu cherches).

    Pour les négatifs on peut faire à peu près pareil.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  10. #7
    Gaara

    Re : Partie entière d'un réel

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Pour les Réels x positifs : soit E l'ensemble des entiers supérieurs à x, cet ensemble n'est pas vide (soit x < 1 et il contient 1, soit par la propriété d'Archimède, il existe un entier n tel que 1 x n > x) or, N muni de la relation d'ordre habituel est un bon ordre, donc E contient un plus petit élément. Ce plus petit élément est le (p+1 que tu cherches).

    Pour les négatifs on peut faire à peu près pareil.


    Merci mais c quoi la propriété d'Archimède la seule que je connaisse c'est la poussée de l'eau xD mais j'ai compris la démonstration


    Mercii

    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

  11. #8
    taladris

    Re : Partie entière d'un réel

    Citation Envoyé par kimuto Voir le message
    Merci mais c quoi la propriété d'Archimède la seule que je connaisse c'est la poussée de l'eau xD mais j'ai compris la démonstration


    Mercii

    La propriété d'Archimède sgnifie que pour tout réel x, il existe un entier naturel n strictement plus grand que x.

  12. #9
    Gaara

    Re : Partie entière d'un réel

    Citation Envoyé par taladris Voir le message
    La propriété d'Archimède sgnifie que pour tout réel x, il existe un entier naturel n strictement plus grand que x.
    Merciii
    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

  13. #10
    Electrofred

    Re : Partie entière d'un réel

    Bonjour,

    J'ai essayé de démontrer l'unicité du réel p, mais c'est une démo maison donc je ne sais pas si c'est très rigoureux :


    Soit x un réel quelconque. On considère qu'il existe deux entiers relatifs distincts p et p' tels que :


    Par soutraction de ces deux lignes (ligne 1 - ligne 2), on obtient :

    Soit
    On a donc nécessairement p-p'=0 soit p=p'.

    Pour tout x réel, il n'existe donc qu'un seul entier relatif p tel que



    Ca montre uniquement l'uncicté de p, mais bon l'existance est assez intuitive, et puis vous l'avez déjà montré.

    Est ce correct?

  14. #11
    danyvio

    Re : Partie entière d'un réel

    Citation Envoyé par Electrofred Voir le message
    Bonjour,

    J'ai essayé de démontrer l'unicité du réel p, mais c'est une démo maison donc je ne sais pas si c'est très rigoureux :


    Soit x un réel quelconque. On considère qu'il existe deux entiers relatifs distincts p et p' tels que :


    Par soutraction de ces deux lignes (ligne 1 - ligne 2), on obtient :

    Soit
    On a donc nécessairement p-p'=0 soit p=p'.

    Pour tout x réel, il n'existe donc qu'un seul entier relatif p tel que



    Ca montre uniquement l'uncicté de p, mais bon l'existance est assez intuitive, et puis vous l'avez déjà montré.

    Est ce correct?
    Soustraire des inégalités, c'est très vilain. Les inégalités sont dangereuses quand on fait des opérations membre à membre comme pour les égalités: imaginons :

    5<6 (c'est vrai !)
    5<6 (c'est toujours vrai) mais si on soustrait membre à memebe on a :
    0<0 ce qui est abominable. En fait, soustraire revient à additionner APRES avoir multiplié par -1. Or, les inégalités changent alors de sens. CQFD
    D'ailleurs on voit l'incongruité dans ta dernière formule qui montre (sic) que :
    p-p'<p-p'
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  15. #12
    Ledescat

    Re : Partie entière d'un réel

    Bonjour.

    Citation Envoyé par Electrofred Voir le message


    [I]Soit x un réel quelconque. On considère qu'il existe deux entiers relatifs distincts p et p' tels que :


    Par soutraction de ces deux lignes (ligne 1 - ligne 2), on obtient :
    Depuis quand soustrais-tu des inégalités ?
    Une multiplication par "-1" apparaît, donc tes inégalités ne s'en foutent pas malheureusement.

    Cordialement.

    EDIT: grillé par Danyvio
    Cogito ergo sum.

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  17. #13
    Electrofred

    Re : Partie entière d'un réel

    Aie aie aie en effet c'est tres vilain.

    J'ai pas fais attention j'ai vu des égalités et pas des inégalités alors j'ai continué. On va dire que j'étais pas réveillé .



    Et sinon pensez vous que l'on puisse montrer l'unicité de p d'une facon analogue (mais correcte cette fois ), je pense que par l'absurde c'est ce qu'il y a de plus simple mais j'ai pas encore trouvé l'astuce pour montrer que p=p'.

  18. #14
    Ledescat

    Re : Partie entière d'un réel

    A moins que je ne me trompe, montrer que la partie entière d'un réel est unique ne me semble pas si trivial .
    Si je n'avais d'autre choix je passerai par le fait qu'un réel est limite d'une suite de rationnels et d'appliquer la définition de limite pour un epsilon=1.
    Mais c'est vraiment bourrin .
    Cogito ergo sum.

  19. #15
    Ledescat

    Re : Partie entière d'un réel

    En fait non je ne passerai pas par des suites, mais j'utiliserai la densité de Q dans IR.

    Si on montre qu'il existe n tq n=< x<n+1, on sait qu'il existe un rationnel r strictement compris entre n et x.
    Or la partie entière d'un rationnel est unique, donc n est unique pour r.

    Mmm, est-il unique pour x ?
    Je crois que je tourne en rond.
    Cogito ergo sum.

  20. #16
    Médiat

    Re : Partie entière d'un réel

    Il est "facile" de montrer que pour tous rationels p/q il existe k unique tel que k<= p/q < k+1.

    Je dis facile car la division euclidienne existe sur N ...
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  21. #17
    taladris

    Re : Partie entière d'un réel

    Elle ne vous plait pas la démo de Médiat utilisant l'archimédianité de R?

  22. #18
    Gaara

    Re : Partie entière d'un réel

    A moi si mais je ne pourrais pas l'expliquer à quelqu'un si jamais on m'interroge
    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

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  24. #19
    Ledescat

    Re : Partie entière d'un réel

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Il est "facile" de montrer que pour tous rationels p/q il existe k unique tel que k<= p/q < k+1.

    Je dis facile car la division euclidienne existe sur N ...
    Oui exactement.
    Je suis désolé je n'avais pas vu votre démonstration plus haut, utilisant le bon ordre de IN (pourquoi je n'y ai pas pensé ).
    Cogito ergo sum.

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