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Fonction partie entière



  1. #1
    Loot

    Exclamation Fonction partie entière


    ------

    Bonjour,

    J'essaye actuellement de résoudre la complexité d'un algoritme informatique.
    Mon problème est que je n'arrive pas à trouver la valeur de :

    n
    Σ E(i/2)
    i=1

    en fonction de n.

    J'ai consulté la page sur Wikipédia consacrée à la fonction partie entière, sans résultat...
    Est-ce possible de réduire cette somme ?

    Merci à vous de m'aider.

    -----

  2. #2
    Jeanpaul

    Re : Fonction partie entière

    Tu verras aisément que ta suite ressemble à :
    0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5 ...
    On va donc distinguer n pair où ça s'arrête après n/2 après avoir additionné 2 fois tous les nombres de 1 à n/2 - 1. On trouve n²/4 en appliquant la formule classique de la somme des nombres de 1 à N = N(N+1)/2

    Pour les impairs, c'est 2 fois tous les nombres de 1 à (n-1)/2 et ça donne (n²-1)/4

  3. #3
    homotopie

    Re : Fonction partie entière

    En posant In={impairs<=n}

    Or, il est plus que classique que 1+2+...+n=n(n+1)/2 et card(In)=E((n+1)/2) (obtenu par tatonnement il y en a environ n/2, reste à ajuster).
    Ainsi
    Sn=n(n+1)/4-(n+1)/4=(n²-1)/4 si n est impair
    Sn=n(n+1)/4-n/2=n²/4 si n est pair
    En une seule formule :
    avec partie entière : Sn=E(n²)/4
    avec puissance de -1 : Sn=n²/4-(1-(-1)n)/8.
    Dernière modification par homotopie ; 16/11/2007 à 13h43. Motif: EDIT : grillé par Jean-Paul

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