La fonction partie entière

[invite563835f6]

Bonsoir tout le monde.
J'ai un exercice sur la fonction partie entière qui me pose quelques problèmes.Voici l'ennoncé et mes réponses:
On note E la fonction partie entière.

1) Montrer que:


(c'est démontré)

2) exprimer en fonction de

(c'est démontré en posant:
avec la partie décimale de ,
et on obtient:
si

si


3) Résoudre l'équation selon la valeur du parametre .
Jai bien trouvé quelques pistes, mais j'ai l'impression de tourner en rond. Bien sur je différencie en deux cas (ceux du dessus), je développe jusqu'à obtenir quelque chose comme:
(pour le cas )
Ensuite je pars du principe que avec
d'où et ensuite j'abouti à des résultats farfelus du genre:

d'où si cad si
ou si cad si

mais je crois que je fais fausse route...
HELP ?? Merciii
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[invited5b2473a]

Je te fais confiance pour 1) et 2).

3) Déjà si m n'est pas un entier relatif, il n'y a pas de solution.

Puis tu sépares les cas pour d et tu obiens E(x) = m/3 ou E(x) = (m-2)/3

Donc, dans le premier cas, si m n'est pas un multiple de 3, il n'y a pas de solution. et dans le deuxième cas, si m n'est pas dans 3Z+ 2, il n'y a pas de solution.
Par définition, x =E(x) + d. Donc x = m/3+ d avec m multiple de 3 et d dans [0,1/2[ , ou x = (m-2)/3 + d avec m dans 3Z+2 et d dans [1/2,1[.


Réciproquement, tu vérifies que de tels x conviennent.

[Médiat]

si

si

Il me semble que ta réponse est fausse (essaye pour x = 0.6) et qu'on peut écrire :

[invite563835f6]

Il me semble que ta réponse est fausse (essaye pour x = 0.6) et qu'on peut écrire :

donc il doit y avoir d'autres cas que je n'ai pas trouvés...mais alors je vois mal comment diviser d € [0;1]... j'irais chercher de l'aide aupres de mes camarades, merci en tout cas pour le coup de main.

Indian, ce que tu mas marqué je l'avais compris, mais en fait, la réponse doit s'organiser comme suit:
pour m>p E(2x)+E(x)=m <=> x€[r;q]
pour m<p etc....

et là je n'arrive pas à tirer quelque chose de ce style.... ça me parait plus compliqué que ça en avait l'air

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5b2473a]

Il me semble que ta réponse est fausse (essaye pour x = 0.6) et qu'on peut écrire :

Ouh là si c'est faux, moi aussi mais le raisonnement reste le même.

[invite563835f6]

Jsuis bête en plus c'est ce que javais marqué au brouillon au départ mais javais fais une erreur bete:
il faut tout simplement utiliser la formule démontrée au dessus, et on obtient facilement:
E(2x)=E(2x/2) + E[(2x+1)/2]=E(x) + E(x+1/2) et non E(x) + E(x) comme javais trouvé au départ ce qui m'avait amené à chercher plus loin. (javais utlisé la formule: E(x+n)=E(x) + n (définie pour x€R et n€N, or ici 1/2€R)...

pour le reste ça simplifie tout!

Merci !

[invite563835f6]

En fait, me revoilà dans une impasse.
Comment développer 2E(x) + E(x+1/2)=m ??? aiiiiie j'arriverai jamais cet éxo..... j'ai pensé à refaire intervenir ma "partie décimale" d mais je n'abouti à rien..

[invited5b2473a]

E(x+1/2) = E(x) ou E(x)+1. A toi de séparer les cas.

[invite718ce6d4]

bsr tt le monde !!
pr le 1 er cas:
on a E(2x)=2E(x) donc E(2x)+E(x) =m implique : 3E(x)=m
=> E(x)=m/3 l equation admet une ensemble de solutions S si et seulement si m apartien a N et s ecrit sous la forme m=3k ( tel que k est un entier positif)
=> E(x) =k alors =k+d avec d partie decimale ou x=k-d selon le signe de x
et le meme chemin pr l autre cas

[invite563835f6]

C 'est sympa, jai rendu mon exercice ce matin, et le prof nous a donné la correction, c'est ce que javais fini par trouver, c'est juste une question de rédaction ensuite. Juste une remarque, k€Z plutot que k€N (pour lamak).