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exercice sur les complexes !



  1. #1
    fusionfroide

    Question exercice sur les complexes !


    ------

    bonjour,

    voila l'exo que j'ai en colle de maths hier et je cherche à le résoudre.

    soit un entier naturel n >= 2

    1) développer . ce qui donne :



    2) On pose :







    calculer

    est ce que vous pouvez m'aider à résoudre cet exo s'il vous plait ? merci.
    --------------------------------------------------------------------------------

    Les indications de ma prof : il faut calculer les modules de (je ne me souviens plus si jegarde n en puissance quand on calcule le module ou non).

    -----

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  4. #2
    indian58

    Re : exercice sur les complexes !

    Développes tes trois formules avec la fomule du binôme. Et ensuite regroupe les termes.

  5. #3
    fusionfroide

    Re : exercice sur les complexes !

    je laisse tomber; je le fait demain parce que la j'ai une autre colle a préparer en plus ^^

    sinon est ce qu'il y a un moyen de supprimer ce topic ? je le remis demain !
    Dernière modification par fusionfroide ; 14/11/2007 à 21h54.

  6. #4
    homotopie

    Re : exercice sur les complexes !

    On a
    (1+1)n= S1+S2+S3
    (1+j)n= S1+j.S2+j².S3
    (1+j²)n=S1+j².S2+j.S3

    Comme 1+j+j²=0
    S1=2n+(1+j)n+(1+j²)n
    S2=2n+j²(1+j)n+j(1+j²)n
    S3=2n+j(1+j)n+j²(1+j²)n

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  8. #5
    Médiat

    Re : exercice sur les complexes !

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    On a
    (1+1)n= S1+S2+S3
    (1+j)n= S1+j.S2+j².S3
    (1+j²)n=S1+j².S2+j.S3

    Comme 1+j+j²=0
    S1=2n+(1+j)n+(1+j²)n
    S2=2n+j²(1+j)n+j(1+j²)n
    S3=2n+j(1+j)n+j²(1+j²)n
    Il ne manque pas des petits 3 quelque part ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  9. #6
    homotopie

    Re : exercice sur les complexes !

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Il ne manque pas des petits 3 quelque part ?
    Tu veux dire que ce serait mieux ainsi :
    3.S1=2n+(1+j)n+(1+j²)n
    3.S2=2n+j²(1+j)n+j(1+j²)n
    3.S3=2n+j(1+j)n+j²(1+j²)n
    En effet, c'est mieux.

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  11. #7
    fusionfroide

    Re : exercice sur les complexes !

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Tu veux dire que ce serait mieux ainsi :
    3.S1=2n+(1+j)n+(1+j²)n
    3.S2=2n+j²(1+j)n+j(1+j²)n
    3.S3=2n+j(1+j)n+j²(1+j²)n
    En effet, c'est mieux.
    ok merci. Mais je ne comprends pas comment vous arrivez à ce résultat !

    pouvez vous me dire les étapes par exemple pour 3.S2=2n+j²(1+j)n+j(1+j²)n ?

  12. #8
    homotopie

    Re : exercice sur les complexes !

    Citation Envoyé par fusionfroide Voir le message
    ok merci. Mais je ne comprends pas comment vous arrivez à ce résultat !

    pouvez vous me dire les étapes par exemple pour 3.S2=2n+j²(1+j)n+j(1+j²)n ?
    La seule chose à savoir est que comme toute bonne racine n-ème (ici n=3) 1+j+j²=0 et j3=1.
    On part de :
    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    (1+1)n= S1+S2+S3
    (1+j)n= S1+j.S2+j².S3
    (1+j²)n=S1+j².S2+j.S3
    On fait 1 fois la 1ère+j² fois la seconde+j fois la 3ème et on obtient le résultat pour S2.
    Au fait 1+j et 1+j² sont des racines 6-èmes primitives de l'unité : (1+j)²=1+2j+j²=1+j+²+j=0+j=j, de même (1+j²)²=j².
    Cela donne des formules sans apparition de "j" mais modulo 6 (peut-être 3 je n'ai pas regardé précisément).

  13. #9
    fusionfroide

    Re : exercice sur les complexes !

    hum....je ne pige pas grand chose.

    En fait en classe, je me souviens d'avoir calculé les modules de de et de

    Par exemple j'ai calculé ?(j'ai oublié)

    puis j'ai utilisé

    en remplacant par puis par puis par

    et j'arrive au même résultat que vous. Je me demande si ce que vous avez fait ?

  14. #10
    homotopie

    Re : exercice sur les complexes !

    On a

    Pour Z=1, tous les membres de S1, de S2 et de S3 sont multipliés par 1k=1 d'où
    2n=(1+1)n=S1+S2+S3

    Pour z=j, les termes de S1 sont multipliés par j3k=(j3)k=1k=1
    les termes de S2 sont multipliés par j3k+1=(j3)k.j=1k.j=j
    les termes de S3 sont multipliés par j3k+2=(j3)k.j²=1k.j²=j²
    Donc (1+j)n=S1+j.S2+j².S3

    De même, car j4=j, on a (1+j)²n=S1+j².S2+j.S3.

    Maintenant de :
    2n=S1+S2+S3
    (1+j)n=S1+j.S2+j².S3
    (1+j)²n=S1+j².S2+j.S3
    On en déduit que :
    2n+(1+j)n+(1+j)²n
    =(S1+S1+S1)
    +S2+jS2+j²S2
    +S3+j²S3+jS3
    =3S1+S2(1+j+j²)+S3(1+j²+j)
    =3S1

    On en déduit également que :
    2n+j².(1+j)n+j.(1+j)²n
    =(S1+j²S1+jS1)
    +S2+j3S2+j3S2
    +S3+j4S3+j²S3
    =S1(1+j²+j)+S2(1+j3+j3)+S3(1+j4+j²)
    =3S2
    car 1+j4+j²=1+j+j²=1+j²+j=0 et 1+j3+j3=1+1+1=3

    De même on obtient en faisant 1xla 1ère +jxla 2nde +j²x la 3ème
    2n+j.(1+j)n+j².(1+j)²n=3S3

    Maintenant (1+j)²=1+2j+j²=j donc (1+j)6=j3=1, son module est de module 1 comme toute racine de l'unité.
    .
    On a :

    avec

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