exercice sur les complexes !
bonjour,
voila l'exo que j'ai en colle de maths hier et je cherche à le résoudre.
soit un entier naturel n >= 2
1) développer. ce qui donne :
2) On pose :
calculer
est ce que vous pouvez m'aider à résoudre cet exo s'il vous plait ? merci.
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Les indications de ma prof : il faut calculer les modules de
Développes tes trois formules avec la fomule du binôme. Et ensuite regroupe les termes.
je laisse tomber; je le fait demain parce que la j'ai une autre colle a préparer en plus ^^
sinon est ce qu'il y a un moyen de supprimer ce topic ? je le remis demain !
Dernière modification par fusionfroide ; 14/11/2007 à 20h54.
On a
(1+1)n= S1+S2+S3
(1+j)n= S1+j.S2+j².S3
(1+j²)n=S1+j².S2+j.S3
Comme 1+j+j²=0
S1=2n+(1+j)n+(1+j²)n
S2=2n+j²(1+j)n+j(1+j²)n
S3=2n+j(1+j)n+j²(1+j²)n
Il ne manque pas des petits 3 quelque part ?Envoyé par homotopie
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Tu veux dire que ce serait mieux ainsi :Il ne manque pas des petits 3 quelque part ?
3.S1=2n+(1+j)n+(1+j²)n
3.S2=2n+j²(1+j)n+j(1+j²)n
3.S3=2n+j(1+j)n+j²(1+j²)n
En effet, c'est mieux.
ok merci. Mais je ne comprends pas comment vous arrivez à ce résultat !Tu veux dire que ce serait mieux ainsi :
3.S1=2n+(1+j)n+(1+j²)n
3.S2=2n+j²(1+j)n+j(1+j²)n
3.S3=2n+j(1+j)n+j²(1+j²)n
En effet, c'est mieux.
pouvez vous me dire les étapes par exemple pour 3.S2=2n+j²(1+j)n+j(1+j²)n ?
La seule chose à savoir est que comme toute bonne racine n-ème (ici n=3) 1+j+j²=0 et j3=1.
On part de :
On fait 1 fois la 1ère+j² fois la seconde+j fois la 3ème et on obtient le résultat pour S2.
Au fait 1+j et 1+j² sont des racines 6-èmes primitives de l'unité : (1+j)²=1+2j+j²=1+j+²+j=0+j=j, de même (1+j²)²=j².
Cela donne des formules sans apparition de "j" mais modulo 6 (peut-être 3 je n'ai pas regardé précisément).
hum....je ne pige pas grand chose.
En fait en classe, je me souviens d'avoir calculé les modules de
Par exemple j'ai calculé
puis j'ai utilisé
et j'arrive au même résultat que vous. Je me demande si ce que vous avez fait ?
On a
Pour Z=1, tous les membres de S1, de S2 et de S3 sont multipliés par 1k=1 d'où
2n=(1+1)n=S1+S2+S3
Pour z=j, les termes de S1 sont multipliés par j3k=(j3)k=1k=1
les termes de S2 sont multipliés par j3k+1=(j3)k.j=1k.j=j
les termes de S3 sont multipliés par j3k+2=(j3)k.j²=1k.j²=j²
Donc (1+j)n=S1+j.S2+j².S3
De même, car j4=j, on a (1+j)²n=S1+j².S2+j.S3.
Maintenant de :
2n=S1+S2+S3
(1+j)n=S1+j.S2+j².S3
(1+j)²n=S1+j².S2+j.S3
On en déduit que :
2n+(1+j)n+(1+j)²n
=(S1+S1+S1)
+S2+jS2+j²S2
+S3+j²S3+jS3
=3S1+S2(1+j+j²)+S3(1+j²+j)
=3S1
On en déduit également que :
2n+j².(1+j)n+j.(1+j)²n
=(S1+j²S1+jS1)
+S2+j3S2+j3S2
+S3+j4S3+j²S3
=S1(1+j²+j)+S2(1+j3+j3)+S3(1+j4+j²)
=3S2
car 1+j4+j²=1+j+j²=1+j²+j=0 et 1+j3+j3=1+1+1=3
De même on obtient en faisant 1xla 1ère +jxla 2nde +j²x la 3ème
2n+j.(1+j)n+j².(1+j)²n=3S3
Maintenant (1+j)²=1+2j+j²=j donc (1+j)6=j3=1, son module est de module 1 comme toute racine de l'unité.
On a :
avec
