[TS] Exercice sur les nombres complexes

[invite9611804b]

Bonjour à tous! J'ai un DM de maths à faire, je l'ai commencé, mais je bloque sur 2 questions. Afin de replacer les questions dans leur contexte, voici l'exercice :

1) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes les équations suivantes :
a) z² - 2z + 5 = 0
b) z² - 2 (1 + √3) z + 5 + 2√3 = 0
2) On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal (0 ; u , v) d’unité graphique 2 cm, les points A, B, C et D d’affixes respectives 1 + 2i, 1 + √3 + i, 1 + √3 – i et 1 – 2i notées zA, zB, zC et zD.
a) Placer les points A, B, C et D et préciser la nature du quadrilatère ABCD.
b) Vérifier que (zD – zB) / (zA – zB) = i√3.
Que peut-on en déduire pour les droites (AB) et (BD) ?
c) Prouver que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle Ґ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer Ґ.
3) On considère l’équation :
z² - 2 (1 + 2 cos "téta") z + 5 + 4 cos "téta" = 0
où "téta" désigne un nombre réel quelconque.
a) Résoudre l’équation dans .
b) Monter que les points ayant pour affixe les solutions de l’équation appartiennent au cercle Ґ.

Je vous dirai ce que j'ai fait dans mon prochain post.
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[invite9611804b]

Alors, me revoilà!
J'ai répondu à la question 1) , et au début de la 2)
Là où je coince, c'est à la question 2) c) :
Je sais que l'équation d'un cercle c'est (x - xI)² + (y - yI)² = r² Mais le problème c'est que je ne sais pas de quoi partir vu que j'ai seulement les affixes.
Et j'ai aussi un problème à la question 3) :
Je ne sais pas ce que je dois faire des "téta". Pour résoudre l'équation j'ai essayé de faire avec, et j'obtiens, D (discriminant) = -16 +16 cos² "téta", soit D = 16(-1 + cos² "téta") Mais après je ne sais pas comment faire pour trouver le nombre de solutions, car je n'arrive pas à trouver si D est positif ou non, et même, ça me parait bizarre avec les "téta"
Merci d'avance pour votre aide!

[invite19415392]

Pour le cercle, ne cherche pas trop loin et utilise la question précédente : tu as montré quelque chose sur les droites (AB) et (BD), que peux-tu en déduire sur le triangle ABD ? Et du coup sur le cercle circonscrit ?
Ensuite tu as le choix :
- Est-ce que tu ne pourrais pas trouver un résultat similaire pour le triangle ACD ?
ou
- Vérifer que le point C appartient au cercle dont tu viens de trouver le centre et le rayon.
Conclure.

Enfin, est-ce que tu ne peux pas simplifier -1 + cos²(theta), par exemple avec une formule faisant intervenir du cos² et du sin² ?

[invitea3eb043e]

, D (discriminant) = -16 +16 cos² "téta", soit D = 16(-1 + cos² "téta")

Ca ne te dit rien (1 - cos²"téta") ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9611804b]

Ah oui exact pour le cosinus et le sinus, donc maintenant D = (16)(-sin²"téta") Bon, je vais remplacer "téta" par @ car j'en ai marre de toujours écrire "téta". D'où D est positif car un carré est toujours positif donc sin²@ l'est aussi. Donc j'ai 2 solutions : x1= ((2+4cos@)-√(16(-sin²@)))/2 et x2= ((2-4cos@)+√(16(-sin²@))/2
wow mais comment simplifier ça maintenant?
Sinon pour le cercle circonscrit je vais essayer là, merci!!!

[invite9611804b]

En fait je me suis trompée, D est négatif donc il y a deux solutions complexes... Ca complique encore plus tout ça!

[invite9611804b]

alors je viens de trouver les deux solutions:
z1 = 1 + 2 cos @ - i (4 sin @)
z2 = 1 + 2 cos @ + i (4 sin @)
C'est bien ça??? Rassurez moi svp...

[invitef1068ed6]

2.c./
si ta déjà vue les conjugués
zA=conjugué de zD et zB=conjugué de Zc
abcd sont situer sur le même crercle de centre (1) et de diamétre AB si tu fait la figure

[invitef1068ed6]

diamétre AD dsl

[invite19415392]

Quand on est pas sûr, bein y a qu'à tester ^^
z1 = [(1+2.cos) + i.(4.sin)]
(je laisse tomber les @, les cos et les sin sont implicitement de théta)
z1² = (1 + 4.cos + 4.cos² -16.sin²)/4 + i.(sin + 2.sin.cos)

Re(z1² - 2 (1 + 2 cos) z1 + 5 + 4 cos)
= (1 + 4.cos + 4.cos² -16.sin²) - 2.(1+4.cos+4.cos²) + 5 + 4cos
On vérifie que les termes en cos s'annulent, mais y a un souci sur le reste :
4 -16 sin² - 4 cos²
Ça vient du fait que tu n'as pas divisé par 2 la partie imaginaire de z1 dans la formule des solutions d'une équation du 2nd degré.
Avec z1 = [(1+2.cos) + i.(2.sin)]
On arrive avec les termes constant et en carré :
4 - 4 sin² - 4 cos² = 0

Je te laisse vérifier que la partie imaginaire est bien nulle aussi.

[invite9611804b]

Je comprend pas trop comment on fait les vérifications, désolée...
Et donc ensuite pour prouver que z1 et z2 appartiennent au cercle, je vois pas trop comment faire. Est ce que quelqu'un pourrait me mettre sur la voie? Merci beaucoup!

[invitef4d4c95a]

il suffit de remplacer z1 et z2 dans ton équation qui vérifie que .

et tu ne connais pas l'équation d'un cercle !?

[invite9611804b]

Mais si je sais que l'équation d'un cercle c'est (x-xI)²+(y-yI)²=r² mais après je sais pas comment l'utiliser, c'est pour ça que je demande de l'aide, sinon je ne serais pas là. Moi et les maths ça fait deux, alors faut pas me demander de me souvenir de trucs que j'ai fait au collège.
Sinon, pour prouver que A,B,C et D sont sur le même cercle, une copine m'a dit de calculer les modaux de chaque affixe, mais auparavant il faut que je prouve que E est le centre du cercle, mais je ne vois pas comment faire, j'ai pensé faire ((zA+zD)/2) mais je pense que ce n'est pas suffisant... Merci d'avance

[invite9611804b]

Personne ne peux me donner un petit coup de pouce?? svp...

[inviteeb40796c]

Coucou, alors moi, j'ai un problème pour résoudre une équation, si quelqu'un, peut m'aider, ça serait vraiment sympa!!
Il faut résoudre l'équation suivante:
(iz+1)(z+3i)(/z-1+4i)=0

PS: le "/z", c'est le seul truc que j'ai trouvé pour écrire "z barre"

[mach3]

ça s'écrit \overline{z} en latex (bouton TEX, à droite de la barre d'outil quand tu rédiges un message).

si

alors

ou
ou


m@ch3