énigme sur les nombres complexes

[invite0613239e]

à quoi est égale racine carré de (-i) a votre avis.
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[invite075b24b6]

c'est pas un truc du genre (racine carré de 2)/2 + i*(racine carré de 2)/2 ?

[invite30ef30b6]

Absolument,si ce n'est que les signes de la partie reele et imaginaire sont opposés.

[pallas]

tu peux simplement remarquer que [(1-i)/(rac(2)] au carré est égal à -i
A +

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite37968ad1]

Reste qu'il y a à traiter l'ambiguité du statut différent de la racine carré dans R et dans C:

Dans R, quand on parle de LA racine carré d'un nombre b, on parle DU nombre POSITIF (s'il existe) dont le carré vaut b

Dans C, on parle DES racines nième de b, ce sont LES n complexes z tels que zⁿ = b. Ces nombres sont faciles à trouver dès qu'on écrit b sous forme exponentielle b = re^ia, LES racines nièmes de b sont les complexes dont le module est LA racine nième de r, et dont les arguments sont a/n, (a+2pi)/n, (a + 4pi)/n)....(a + 2(n-1)pi)/n

Ici nous sommes dans C, il faut donc parler DES racines carrés de -i, dont le module est 1 et dont les arguments sont -pi/4 et 3pi/4

c'est à dire rac(2)/ 2 - i rac(2)/2 ET - ra(2)/2 + irac(2)/2

[inviteab2b41c6]

La racine carrée n'est pas définie sur C.

[invite37968ad1]

La racine carrée n'est pas définie sur C.

Mais si.... à moins que tu ne l'appelles la racine deuxième si tu veux!!!

Comme je l'explique dans mon intervention (l'as-tu comprise?) LES racineS nièmes sont définies dans C,
racineS deuxièmes, racineS troisièmes, racineS quatrièmes etc.
D'où l'ambiguité pour la racine deuxième, seconde, carrée qui n'a pas le même sens dans R et dans C

[invite28659414]

Les nombres complexes portent bien leur nom!

[invitea29d1598]

Quinto parlait de la fonction "racine carrée" qui n'est pas définie de manière unique dans C, tu dois soit passer par ce que l'on appelle les surfaces de Riemann soit faire une coupure dans le plan si tu veux que la fonction soit univalue.

Voir par exemple: http://fr.wikipedia.org/wiki/Holomorphe

[inviteab2b41c6]

La racine carrée n'est pas définie sur C.

Comme je l'explique dans mon intervention (l'as-tu comprise?)

Oui je te remercie, ca va pour moi.
Je crois que Rincevent a précisé ma pensée....

[invite0613239e]

enfêt je posait cette question car en partant de rac(-i) j'avais trouvé cela:

rac(-i)
=module de rac(i)
=module de i puissance 1/2
=module de i au carré puissance 1/4
=module de -1 puissance un quart
=(module de -1) à la puissance 1/4
=-1 puissance 1/4
=i puissance 1/2
=rac (i)

et si rac(i)=rac(-i)
1=-1

mais ou est l'erreur?

[invite0613239e]

psardon pr la grossière faute d'orthographe à la première ligne

[invite37968ad1]

en partant de rac(-i) j'avais trouvé cela:

rac(-i)
=module de rac(i)
=module de i puissance 1/2
=module de i au carré puissance 1/4
=module de -1 puissance un quart
=(module de -1) à la puissance 1/4
=-1 puissance 1/4
=i puissance 1/2
=rac (i)

et si rac(i)=rac(-i)
1=-1

mais ou est l'erreur?

Pratiquement à toutes les lignes

rac(-i)

comme te l'ont dit rincevent, quinto et moi-même, on ne peut pas parler de LA rac(-i) car il en existe deux

rac(-i)= module de....

le module est un réel positif ou nul, LES rac(-i) sont des complexes non réels donc pas d'égalité

i puissance 1/2

comme on ne peut pas parler de LA racine carrée, on ne peut pas plus parler de LA puissance 1/2 (2 complexes possibles) ni de LA puissance 1/4 (4 complexes possibles)

(module de -1) à la puissance 1/4 =-1 puissance 1/4

module de -1 = 1 et non -1

Bilan, comme le dit sacapatate, les complexes sont ... complexes
pas de relation d'ordre intuitive, pas de puissance 1/n, pas d'unicité de pour la racine nième, statut du module différent de celui de la valeur absolue....

Mieux vaut donc rester sur les opérations basiques dont on est sur. Dommage pour l'imagination mais tant mieux pour la prudence.

[invite0613239e]

J'suis quand même pas très doué...
enfin merci de toutes ces informations. Je crois que je vais retourner devant mes cours sur les nombres complexes.

[invite90610aa0]

rac(i)=rac(cos(pi/2)+isin(pi/2))
=rac(exp(pi/2))
=exp((pi/2)*(1/2))
=exp(pi/4)
=cos(pi/4)+isin(pi/4)
=(rac2)/2+i*(rac2)/2

Et rac(i)=rac(i^5)
=i^(5/2)
=i^2 * i^(1/2)
=-rac(i)