Utilisation de suites pour un démonstration géométrique

[invite980a875f]

Salut,
j'ai un problème pour une démonstration:
on considère tous les triangles rectangles dont les 3 côtés sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique. Par exemple, le triangle rectangle de côtés 3, 4, 5.
Il faut prouver que tous ces triangles sont semblables.
J'ai donc tenté de montrer que les rapports de deux côtés (donc les cosinus, sinus et tangente) étaient des réels ne dépendant pas de la raison de la suite ni de la longueur des côtés. Mais je suis bloqué dans mes équations...
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[invite9e95248d]

tu peux rappelé la définition de triangle semblable stp

[invite980a875f]

Bien sûr!
Deux triangles semblables ont des angles égaux deux à deux. En fait, si un triangle T' est semblable à un triangle T, alors T' est simplement un agrandissement ou un réduction de T.
J'espèe que c'est clair!

[invite9e95248d]

oui merci
en fait j'ai cherché un peu et on peut aussi montrer que les rapports entre les longueurs de deux triangles sont proportionnels

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite980a875f]

Oui, c'est la même chose de dire qu'un triangle est une réduction ou un agrandissement de l'autre!

[invite9e95248d]

sinon est ce que les cotés considérés sont extrais d'une meme suite ou ça peut etre des différentes (dans le deuxieme cas ça va etre pénible )

[invite37968ad1]

bonjour,

ça ne devrait pas poser trop de problèmes:
ton triangle a pour côtés x; x+r; x+2r
En écrivant l'égalité de Pythagore, tu as une relation entre x et r qui se résume en x²-2rx-3r²=0.
tu résous cette équation (tu trouves x en fonction de r)
tu tombes sur x = 3r

les côtés de ton triangle sont donc 3r; 4r; 5r proportionnels à 3;4;5

Je t'ai donné la trame du raisonnement, à toi de compléter tout seul ou de poser des questions si tu bloques à nouveau

[invite980a875f]

est ce que les cotés considérés sont extrais d'une meme suite

Oui bien sûr!!

-->curieux: en fait j'étais bien arrivé à cette équation du second degré, mais je ne l'ai même pas résolu parce que je me suis dit que je n'aboutirais à rien!
C'st mon problème en maths: j'arrête souvent mes raisonnements alors qu'ils sont bons... :?

Ensuite, le raisonnement est quasiment fini: il suffit de dire que tous les triangles dont les côtés sont proportionnels respectivement à 3, 4, 5 sont semblables. Et un triangle de côté 3r1, 4r1, 5r1, est une réduction (ou un agrandissement) d'un triangle 3r2, 4r2, 5r2 par un facteur (r1/r2).
Les triangles sont donc semblables.

[shokin]

Salut,
j'ai un problème pour une démonstration:
on considère tous les triangles rectangles dont les 3 côtés sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique. Par exemple, le triangle rectangle de côtés 3, 4, 5.
Il faut prouver que tous ces triangles sont semblables.
J'ai donc tenté de montrer que les rapports de deux côtés (donc les cosinus, sinus et tangente) étaient des réels ne dépendant pas de la raison de la suite ni de la longueur des côtés. Mais je suis bloqué dans mes équations...

il me semble qu'on ne peut pas démontrer ce qui est faux. Tous les triangles dont les longueurs respectives des côtés sont 3 nombres consécutifs ne sont pas semblables. Exemple :

Considère un triangle dont les côtés mesurent respectivement 3, 4 et 5 (par exemple en) cm et un autre dont les côtés mesurent respectivement 4, 5, 6 cm. Pour passer du premier au deuxième triangle, tu as du écarter les côtés 4 et 5 (sans changer leur longueur), ainsi agrandir l'angle entre ceux-ci et réduire les deux autres. Donc ils ne sont pas égaux. Comment veux-tu démontrer qu'ils sont égaux ?!?

Par contre si tu parles de suite géométrique, (3, 6, 12, ...) au lieu de suites arithmétiques, c'est vrai qu'on peut démontrer.

[invite88ef51f0]

Les triangles sont rectangles...

[shokin]

est ce que les cotés considérés sont extrais d'une meme suite

Oui bien sûr!!

-->curieux: en fait j'étais bien arrivé à cette équation du second degré, mais je ne l'ai même pas résolu parce que je me suis dit que je n'aboutirais à rien!
C'st mon problème en maths: j'arrête souvent mes raisonnements alors qu'ils sont bons... :?

Ensuite, le raisonnement est quasiment fini: il suffit de dire que tous les triangles dont les côtés sont proportionnels respectivement à 3, 4, 5 sont semblables. Et un triangle de côté 3r1, 4r1, 5r1, est une réduction (ou un agrandissement) d'un triangle 3r2, 4r2, 5r2 par un facteur (r1/r2).
Les triangles sont donc semblables.

remarque, les facteurs respectifs (en l'occurence 3, 4 et 5) ne sont pas forcément consécutifs, ce sont simplement trois réels.

[shokin]

dans le cas du triangle 3-4-5 cm c'est un triangle rectangle car 3^2+4^2=5^2 (théorème de pythagore que vous connaissez sûrement).

[invite980a875f]

Salut,
shokin, la propriété n'est vraie que pour les triangles rectangles.

remarque, les facteurs respectifs (en l'occurence 3, 4 et 5) ne sont pas forcément consécutifs, ce sont simplement trois réels.

Non, je ne crois pas. En effet, on a fait la démonstration dans un cas général, on n'a pas pris de valeurs particulières. On a montré que les longueurs étaient égales à 3r, 4r, 5r, donc forcément proportionneles à 3, 4, 5, et à rien d'autre.

[shokin]

mais où avais-je la tête ?

heureusement maintenant tout est clair