DM suites arithmético géométrique

[invite110534af]

bonjour j'ai un DM à rendre pour mardi et je bute sur une question :

voici l'énoncé :

(U_n) est la suite définie par u₀= a et la relation de récurrence:
u_n+1= 1/2u_n +n² +n pour tout entier naturel n (R)

1)Déterminez un polynome du second degré P(x) de façon que la suite (a_n) de terme génral a_n=P(n) vérifie la relation (R).
2) Démontrez que la suite (V_n) de terme général V_n =u_n - a_n est géométrique.
3)exprimer v_n puis u_n en fonction de n et a.
4) calculer en fonction de n et de a
somme de u_k pour k allant de k=0 a k= n-1

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voici mes réponses :

1) a_n = P(n)= 2n²-6n+8

2) V_n = u_n-a_n

V_n+1 = (1/2) vn (lorsque l'on remplace )

V_n = (1/2)ⁿ v₀

V_n = (1/2)ⁿ (a-8)

3) V_n = (1/2)ⁿ (a-8)

u_n= V_n +a_n

u_n = (1/2)ⁿ (a-8) + 2n²-6n+8

4) pour la derniere question voila ce que j'ai fait :

on peu voir que Un c'est la somme d'une suite géo (Vn) et d'une suite definie par un polynome (an) donc pour avoir la somme des n-1 premiers terme de Un faut faire la somme des n-1 premiers termes de vn + la somme des n-1 premier terme de an

ca fait

somme des n-1 premier termes de vn =

(a - 8) (1 - (1/2)ⁿ) / (1-1/2) =(a - 8) (2 - 2 ^-n)

maintenant pour la somme de a_n je bloque donc peut etre que ce n'est pas comme sa qu'il faut faire


pouriez vous m'indiquer des pistes pour faire cette derniere question ? merci
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[invite6f9f6925]

Bonjour,
il te manque juste l'expression de la Somme des k² de 1 à n = n^3/3 + n²/2 + n/6
(expression connue mais pas facile à démontrer...)

[invite110534af]

je ne comprend pas tu pourais être un peu plus clair ?

[invite6f9f6925]

Pour calculer la somme des a_n tu vas avoir besoin de cette expression :

[A voir en vidéo sur Futura]