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Limite d'une suite (moyenne arithmético-géométrique)



  1. #1
    Bleyblue

    Limite d'une suite (moyenne arithmético-géométrique)


    ------

    Bonjour,

    Je cherche la limite de la suite :



    c'est à dire (an désigne le terme d'incide n) :




    donc si L désigne la limite de la suite :

    (L positif)



    donc L = 2 ou L = 0.

    La limite est bien L = 2 mais j'aimerai bien savoir, qu'est ce que c'est que ce zéro ?
    C'est une solution à rejeter apparament mais d'où est-ce qu'elle provient ?

    merci

    -----

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  3. #2
    fadila

    Re : Limite d'une suite

    Bonjour
    Quand tu écris l'équation vérifiée par la limite, tu ne tiens pas compte de la valeur de u1. Or si u1=0 la limite est zéro
    A bientot

  4. #3
    Bleyblue

    Re : Limite d'une suite

    Je vois

    Mais alors est-ce que je n'ai pas été suffisament rigoureux en définisant ma suite par récurrence ? Ou bien le fait d'obtenir zéro est "normal" et je dois réfléchir avant de conclure sur la valeur de L ?

    merci

  5. #4
    martini_bird

    Re : Limite d'une suite

    Salut,

    déjà quand tu dis

    si L désigne la limite de la suite
    tu supposes que la suite est convergente. Mais il faut le démontrer au préalable !

    Ensuite, tu peux démontrer que ta suite est strictement croissante de sorte que 0 est à écarter car le terme initial est positif.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Bleyblue

    Re : Limite d'une suite

    En fait ma relation la elle veut dire : "SI la limite existe, alors elle vérifie cette relation"
    Mais rien ne dit que cette dernière existe, il faudrait que je le montre

    je comprends bien,

    merci

    EDIT : Croisement avec martini_bird
    (merci pour ta réponse)

  8. #6
    Jeanpaul

    Re : Limite d'une suite

    Prends le Log des 2 côtés. Si tu te débrouilles bien, en bidouillant un peu, ça donne une suite géométrique.

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  10. #7
    Bleyblue

    Re : Limite d'une suite

    Des deux côtés de quelle relation ?

    Sinon si j'ai deux nombres réels positifs tels que a > b et que j'ai :





    et :





    j'essaie de montrer (par induction sur n) :



    Voila déja ce que j'ai pour n = 1 :

    Il faut montrer que a1 > a2 > b2 > b1 avec :









    Donc (je ne note que les étapes) :

    1) je montre que a2 > a1

    2) je montre a2 > b2

    3) je montre b2 > b1

    Et c'est démontré pour n = 1. Ensuite je dois encore montrer que ci c'est vrai pour k alors ça l'est aussi pour k + 1.

    C'est bien comme ça que je dois procéder non (j'ai déja une page de calcul pour n = 1 donc ça m'effraie un peu ) ?

    merci

  11. #8
    Jeanpaul

    Re : Limite d'une suite

    Ecris simplement que
    Log(a n+1) = 1/2 Log(2) + 1/2 Log (a n)
    Pose V(n) = Log (a n) et essaie de trouver une constante b telle que :
    v(n+1) -b = 1/2 (V(n) - b)

  12. #9
    Bleyblue

    Re : Limite d'une suite

    D'accord merci

    Mais sinon par la méthode classique (dabord démontrer qu'il existe bien une limite en démontrant qu'elle est monotone et bornée) ça va aussi

  13. #10
    rvz

    Re : Limite d'une suite

    Salut Bleyblue,

    Pour ton autre problème, tu dois effectivement démontrer à chaque étape que
    a_n >= a_{n+1}>= b_{n+1} >= b_n
    Mais en fait, c'est plutot facile :
    Ca repose notamment sur l'inégalité
    2xy <= x^2 +y^2
    Et sur le fait que \sqrt{xy} est une moyenne, de même que (x+y)/2...
    Je te laisse voir pourquoi en fait c'est évident.

  14. #11
    Bleyblue

    Re : Limite d'une suite

    Oui en fait cet exercice viens de mon livre et a pour but de me faire découvrir la moyenne arithmético-géométrique de Gauss (cette démonstration n'est qu'une étape)

    Bon si c'est bon je vais continuer alors

    merci

  15. #12
    Bleyblue

    Re : Limite d'une suite

    Ok j'ai montré ça
    Ensuite je déduis facilement que les deux suites convergent et je peux facilement montrer que :



    comme demandé dans l'énoncé, en revanche je ne dispose d'aucun moyen pour connaître la valeur (en fonction des nombres a et b de départ) de cette limite.

    Comment pourrais-je faire ?

    merci

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  17. #13
    martini_bird

    Re : Limite d'une suite

    Salut,

    la valeur de cette limite est délicate à déterminer : l'expression met en jeu une intégrale elliptique. Mais ça apparaît peut-être dans la suite de ton exo.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  18. #14
    Bleyblue

    Re : Limite d'une suite

    Ouhhhhh intégrale elliptique

    Eh bien non l'exercice s'arrête ici (c'est le premier tome d'un livre d'analyse de base, je vais bientôt passer au tome 2 en espérant que ça soit un peu plus poussé), c'est pour ça que j'ai posé la question.

    Tant pis,

    merci

  19. #15
    martini_bird

    Re : Limite d'une suite

    Regarde ici, formule 24.

    Ce n'est pas si terrible à démontrer, à l'aide d'un changement de variable ad hoc.
    Ce fut l'objet d'un sujet de Capes

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  20. #16
    Bleyblue

    Re : Limite d'une suite (moyenne arithmético-géométrique)

    Je vois, c'est amusant

    Sinon c'est quoi le test la ? Il y a même des concours qui sont imposés aux candidats prof. de math en France ?

    merci

  21. #17
    martini_bird

    Re : Limite d'une suite (moyenne arithmético-géométrique)

    Le capes est l'un des deux concours permettant d'enseigner dans l'éducation nationale, l'autre étant l'agrégation.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  22. #18
    Bleyblue

    Re : Limite d'une suite (moyenne arithmético-géométrique)

    Ah je vois

    Ca doit être embêtant tous ces concours ...

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