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demonstration suites (TS)




  1. #1
    Rayure

    demonstration suites (TS)

    bonjour, comme de nombreuses personnes en détresse dès le début d'année j'ai voulu chercher de l'aide.et donc moi aussi je suis nouveau!

    voila l'énoncé est pas très compliqué :

    Montrer que pour tout entier naturel n, 3^3n+2 + 2^n+4 est divisible par 5.

    je pense qu'il faut demontrer cela par récurrence mais je n'y arrive pas(bien sur j'arrive l'initialisation mais pas l'hérédité)...donc voila si quelqu'un pouvait m'aider...

    -----


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  3. #2
    lolouki

    Re : demonstration suites (TS)

    on doit montrer que :

    5| 3^(3(n+1)+2) + 2^(n+1+4)
    or on sait que : 3^(3(n+1)+2) + 2^(n+1+4)
    = 3^(3n+5) +2^(n+5)
    =3^3 * 3^(3n+2) + 2*2^(n+4)
    =27* 3^(3n+2) + 2*2^(n+4=
    = 25*3^(3n+2) + 2*( ......)

    les (.....) c laformule de base sur laquelle on fait la reccurence. tu peux conclure je pense.

  4. #3
    shokin

    Re : demonstration suites (TS)

    Comme dit Lolouki, rien de tel que la démontration par récurrence.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.


  5. #4
    Gwyddon

    Re : demonstration suites (TS)

    Bonjour,

    Il y a plus simple, et qui permet de se passer de la récurrence

    Il suffit de raisonner sur les restes : en effet, si l'on arrive à démontrer que le reste de la division euclidienne de 33n+2+2n+4 par 5 est 0, on a gagné.

    On utilise pour cela la notion de congruence (c'était enseigné à mon époque en TS, je ne sais pas si c'est encore le cas) : a = b [n] signifie que n divise a-b, ou encore que le reste de la division euclidienne de a-b par n est nul, ou encore que a et b ont même reste par la division euclidienne par n ( il suffit de l'écrire pour s'en convaincre).

    Ainsi, si a=b [n] alors pour tout p, a*p = b*p [n] . En particulier si p=a
    De même, si a =b [n] alors a+p = b+p [n] puisque (a+p)-(b+p) = (a-b).

    Donc l'idée ici c'est de rapprocher 33n+2 d'un certain 2p, afin de prouver que 33n+2+2n+4 = 5q' [5] (avec un certain q' à déterminer) : ayant 5|(5*q'), on a 5q' = 0 [5] et on aura prouvé ce que l'on désirait (si a=0 [q], q divise a bien sûr).

    Je te donne le début : 33=27. Or 27 = 5*5+2 donc on a 33=2 [5]. On s'est ramené à regarder la somme de puissance de 2
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  6. #5
    Rayure

    Re : demonstration suites (TS)

    merci pour les aides je vais lire ça attentivement (surtout la congruence, ça a l'air compliqué tout ça )
    aller hop je retourne a mes calculs. Je vous recontacte si vraiment je comprends toujours pas...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Gwyddon

    Re : demonstration suites (TS)

    Citation Envoyé par Rayure Voir le message
    merci pour les aides je vais lire ça attentivement (surtout la congruence, ça a l'air compliqué tout ça )
    aller hop je retourne a mes calculs. Je vous recontacte si vraiment je comprends toujours pas...
    Ne t'inquiète pas, la congruence n'est pas si compliqué que ça en a l'air
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  9. #7
    Rayure

    Re : demonstration suites (TS)

    c'est encore moi, donc voila je comprend bien ou tu veux en venir lolouki jusqu'a la dernière ligne le :
    25*3^(3n+2) + 2*( ......)
    je comprends pas comment de 27 tu passe a 25
    alala j'ai jamais été très fort en maths

    Soit Pn la proposition "33n+2+2n+4 est un multiple de 5"

    Initialisation : pour n=1

    33(1+2)+2n+5=243+32=275
    donc P1 est vraie

    Hérédité :

    Supposons Pn vraie, on va montrer alors que Pn+1 vraie c'est à dire 33(n+1)+2+2n+1+4=5k

    33n+5+2n+5
    =33 * 33n+2 + 2*2n+4
    =27*33n+2 + 2*2n+4
    ..... je suis bloqué


    ps : merci pour la congruence mais vu qu'on travail sur les suites je ne suis pas sur que la prof va apprécier que j'utilise une méthode que je suis censé ne pas connaitre

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  11. #8
    lolouki

    Re : demonstration suites (TS)

    Et bin tout simplement 27 = 25 + 2 ^^
    donc 27 * 3^(3n+2) = 25*3^(3n+2) + 2*3^(3n+2) et ca je le passe dans les (...)

  12. #9
    Rayure

    Re : demonstration suites (TS)

    mais oui je comprend maintenant
    merci lolouki

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