Bonjour,
Si j'ai une suite réelle xn je dois montrer que :
Bon j'ai quelque chose la mais ça me semble trop simple alors je suppose que je me suis planté quelque part :
Soit> 0
Par hypothèse
donc
Comme on a des nombres positifs dans les deux membres on peut élever au carré et donc :
Qu'en pensez-vous?
merci
Pas de problème. Tu peux aussi dire que si Un tend vers a et Vn tend vers b alors UnVn tend vers ab, enfin si vous l'avez démontré rigoureusement, sinon on tourne en rond.
je ne suis pas sur que tu aie montré la convergence de (xn^2)Envoyé par Bleyblue
Bonjour,
Si j'ai une suite réelle xn je dois montrer que :
Bon j'ai quelque chose la mais ça me semble trop simple alors je suppose que je me suis planté quelque part :
Soit
Par hypothèse
donc
Comme on a des nombres positifs dans les deux membres on peut élever au carré et donc :
Qu'en pensez-vous
merci
il serait plus precis de le demontrer comme ca:
soit epsilon>0
comme sqrt(epsilon)>0, il existe n0, qqs n>=n0, abs(xn)<sqrt(epsilon)
donc qqs n>=n0 , abs(xn)^2<epsilon
abs(xn^2)<epsilon
donc qqs epsilon>0, il existe n0,qqs n>=n0, abs(xn^2)<epsilon
donc(xn^2) ->0
en fait il faut montrer que abs(xn^2)<epsilon et non pas plus petit que epsilon^2
Oui mais avec un peu d'expérience, et tu viens d'ailleurs de le démontrer, on sait que si on obtient une majoration par espilon², ou 2.epsilon, .., on a montré la convergence.
Mais bon, tu n'as pas tort, autant faire attention.
J'y ai pensé en fait, mais je me suis dit que étant donné qu'epsilon est une constante, ça revient au même ...
Bah par la suite je ferai attention, mais je ne vois pas vraiment en quoi c'est important ...
merci
Ah, mais fais attention quand-même. Je sais que c'est évident, mais si tu obtenais une majoration par 1 + epsilon par exemple, ça ne marcherait pas. La justification ne tient pas au fait que epsilon soit une constante.J'y ai pensé en fait, mais je me suis dit que étant donné qu'epsilon est une constante, ça revient au même ...
Bah par la suite je ferai attention, mais je ne vois pas vraiment en quoi c'est important ...
merci
Finalement ce n'est pas une mauvaise idée de se forcer à arriver à une majoration par exactement epsilon au début.
En fait c'est important parce que la formule "qqs epsilon, il existe ... <epsilon" est LA formulation normale de la condition de convergence. Avec un epsilon au carré, on peut arguer que ce n'est pas équivalent, et donc exiger de démontrer l'équivalence, ce qui presque l'exercice demandé!Bah par la suite je ferai attention, mais je ne vois pas vraiment en quoi c'est important ...
Cordialement,
D'ailleurs ça soulève une question intéressante. Imaginons qu'on ait une fonction f définie sur ]0;+infini[.
Quelle condition sur f doit on imposer pour pour avoir l'équivalence entre:
i) Pour tout epsilon, il existe N, etc, bidule < f(epsilon)
ii) Pour tout epsilon, il existe N, etc, bidule < epsilon
?
Je pense que tu poses la question à titre d'exercice? Me trompe-je?
Cordialement,
Je dirais que f doit tendre vers 0 en 0, et ne jamais s'annuler au voisinage de 0.
Bien entendu f est positive.
Plus ou moins, vu que je ne m'étais jamais posé la question en termes aussi généraux. Ceci dit je pense quand-même avoir une solution (au moins pour (i) implique (ii)).
Je dirais que pour f(epsilon) = 1/epsilon ça marche encore. Ou si f tend vers 0 ailleurs qu'en 0.
Ou même si 0 est adhérent à {f(epsilon) / epsilon > 0}.
Non ? Qu'en dites-vous ?
Ah bon. Ok alors ...
Sinon pour l'exercice de matthias je ne comprend pas bien l'énoncé
Ca me parrait plein de bon sens.
Le fait que 0 soit adhérent {f(epsilon),epsilon>0} me semble être la condition la moins forte possible pour conserver le résultat.
On se vouvoie maintenant matthias?Non ? Qu'en dites-vous ?
On se vouvoie maintenant matthias?
Vous étiez au moins deux à donner l'impression de vous intéresser à la question ...
Ceci explique cela.
J'ai pas réfléchi, mais 1/epsilon m'étonne...
EDIT : vu, cela demandait un poil plus de secondes que je n'y avais alloué!
Pour epsilon > 0 donné. Tu poses truc = 1/epsilon > 0
Tu as donc il existe N tq ........ bidule < 1/(truc) = epsilon
[EDIT: ben oui, mais vu qu'il m'a fallu 2 poils de secondes pour écrire celui-là
En fait, même 0 adhérent à f(R) et f(epsilon)>0 pour tout epsilon est acceptable, non?
Non probablement pas:
f(x)=1/x si x négatif
f(x)=1 sinon
Je voulais dire en modifiant "quelque soit epsilon dans R blabla <f(epsilon)" (et j'avais édité f(epsilon)>0...)
Je crois qu'il ne faut pas non plus se casser la tête.
Dans la pratique on part d'un epsilon > 0 quelconque, c'est pour ça que j'avais pris ma fonction définie sur ]0;+infini[.
Et démontrer l'équivalence ne sert à rien non plus, seul (i) => (ii) est intéressant pour démontrer une convergence.
Si on veut faire un chouya plus général, on pourrait à la rigueur aller jusqu'à:
Etant donné une fonction f de A dans IR, si on a:
Pour tout x dans A, ................|bidule| < f(x)
(ce qui implique déjà f(A) inclu dans ]0;+infini[)
et si 0 est adhérent à f(A), alors:
Pour tout epsilon > 0, .............. |bidule| < epsilon
Mais je vois mal qui irait démontrer une convergence en partant d'autre chose qu'un réel > 0
Je ne crois pas que cela implique comme tu le dis, il y a des quantificateurs universels...
Eh... Tu lances un pb, on cherche! On ne s'occupe de savoir si ça sert à quelque chose!Mais je vois mal qui irait démontrer une convergence en partant d'autre chose qu'un réel > 0
Cordialement,
Si on prend une hypothèse qui dit explicitement que pour tout x dans A, f(x) strictement supérieur à quelquechose de positif, j'en déduis assez directement que si cette hypothèse est vérifiée f(A) est inclu dans ]0;+infini[ ...
Mais j'avoue que c'est un peu idiot de ne pas le dire dès le début.
Bon, d'accord, d'accord
Et pour la réciproque de la dernière version alors ?
La condition de convergence est
qqs A, il existe n0 | qqs n>n0, |xn|<f(A)
Si f(A) est négatif, il n'existe pas de tel n0, et la condition n'est pas vérifiée. La condition de convergence n'est alors jamais vérifiée, ce qui n'est bien sûr pas acceptable!
Il faut donc imposer f(R) inclus dans ]0, inf[
Non?
on peut envisager de mettre des valeurs absolues autour de f(epsilon) dans le problème
sinon, je pense que la continuité en 0 doit suffire, mais peut-etre faut-il en plus que 0 ne soit pas un point d'accumulation de
(x,f(x)=0) ou quelquechose comme ca
je vais jeter un oeil sur le problème
Pour être honnête je ne vois même pas à quoi elle servirait. A moins que ce ne soit pour dire que la fonction tend vers 0 en 0. Mais bon on a déjà vu qu'on pouvait prendre des conditions beaucoup plus faibles.
effectivement une condition de limite en 0 est plus interessante et plus facile à obtenir
mille excuses
Mais regarde les messages précédents, tu verras que ça marche encore pour f(x) = 1/x qui ne tend pas vraiment vers 0 en 0
Sinon c'est vrai que mettre une valeur absolue sur f aurait été plus simple.
je voulais bien entendu parler de limite nulle
l'important est que epsilon'=f(epsilon) puisse se rapprocher de zéro
sans s'annuler constamment
Oui c'est ça, et il n'est pas important que la fonction tende vers 0 en un point donné, ni même à l'infini. Il suffit qu'on puisse se rapprocher de 0 autant que l'on veut, d'où la condition 0 adhérent à {f(x)}.
