Répondre à la discussion
Page 1 sur 2 1 DernièreDernière
Affichage des résultats 1 à 30 sur 50

Démonstration sur les suites.



  1. #1
    Bleyblue

    Démonstration sur les suites.

    Bonjour,

    Si j'ai une suite réelle xn je dois montrer que :



    Bon j'ai quelque chose la mais ça me semble trop simple alors je suppose que je me suis planté quelque part :

    Soit > 0

    Par hypothèse

    donc

    Comme on a des nombres positifs dans les deux membres on peut élever au carré et donc :



    Qu'en pensez-vous ?

    merci

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    matthias

    Re : Démonstration sur les suites.

    Pas de problème. Tu peux aussi dire que si Un tend vers a et Vn tend vers b alors UnVn tend vers ab, enfin si vous l'avez démontré rigoureusement, sinon on tourne en rond.

  4. #3
    Greyplayer

    Re : Démonstration sur les suites.

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Bonjour,

    Si j'ai une suite réelle xn je dois montrer que :



    Bon j'ai quelque chose la mais ça me semble trop simple alors je suppose que je me suis planté quelque part :

    Soit > 0

    Par hypothèse

    donc

    Comme on a des nombres positifs dans les deux membres on peut élever au carré et donc :



    Qu'en pensez-vous ?

    merci
    je ne suis pas sur que tu aie montré la convergence de (xn^2)
    il serait plus precis de le demontrer comme ca:
    soit epsilon>0
    comme sqrt(epsilon)>0, il existe n0, qqs n>=n0, abs(xn)<sqrt(epsilon)
    donc qqs n>=n0 , abs(xn)^2<epsilon
    abs(xn^2)<epsilon
    donc qqs epsilon>0, il existe n0,qqs n>=n0, abs(xn^2)<epsilon
    donc(xn^2) ->0

    en fait il faut montrer que abs(xn^2)<epsilon et non pas plus petit que epsilon^2
    Sauver une vie ne prend que dix minutes:donnez votre sang!

  5. #4
    matthias

    Re : Démonstration sur les suites.

    Citation Envoyé par Greyplayer
    en fait il faut montrer que abs(xn^2)<epsilon et non pas plus petit que epsilon^2
    Oui mais avec un peu d'expérience, et tu viens d'ailleurs de le démontrer, on sait que si on obtient une majoration par espilon², ou 2.epsilon, .., on a montré la convergence.
    Mais bon, tu n'as pas tort, autant faire attention.

  6. #5
    Bleyblue

    Re : Démonstration sur les suites.

    Citation Envoyé par GreyPlayer
    comme sqrt(epsilon)>0, il existe n0, qqs n>=n0, abs(xn)<sqrt(epsilon)
    donc qqs n>=n0 , abs(xn)^2<epsilon
    abs(xn^2)<epsilon
    donc qqs epsilon>0, il existe n0,qqs n>=n0, abs(xn^2)<epsilon
    donc(xn^2) ->0

    en fait il faut montrer que abs(xn^2)<epsilon et non pas plus petit que epsilon^2
    J'y ai pensé en fait, mais je me suis dit que étant donné qu'epsilon est une constante, ça revient au même ...

    Bah par la suite je ferai attention, mais je ne vois pas vraiment en quoi c'est important ...

    merci

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    matthias

    Re : Démonstration sur les suites.

    Citation Envoyé par Bleyblue
    J'y ai pensé en fait, mais je me suis dit que étant donné qu'epsilon est une constante, ça revient au même ...

    Bah par la suite je ferai attention, mais je ne vois pas vraiment en quoi c'est important ...

    merci
    Ah, mais fais attention quand-même. Je sais que c'est évident, mais si tu obtenais une majoration par 1 + epsilon par exemple, ça ne marcherait pas. La justification ne tient pas au fait que epsilon soit une constante.
    Finalement ce n'est pas une mauvaise idée de se forcer à arriver à une majoration par exactement epsilon au début.

  9. Publicité
  10. #7
    invité576543
    Invité

    Re : Démonstration sur les suites.

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Bah par la suite je ferai attention, mais je ne vois pas vraiment en quoi c'est important ...
    En fait c'est important parce que la formule "qqs epsilon, il existe ... <epsilon" est LA formulation normale de la condition de convergence. Avec un epsilon au carré, on peut arguer que ce n'est pas équivalent, et donc exiger de démontrer l'équivalence, ce qui presque l'exercice demandé!

    Cordialement,

  11. #8
    matthias

    Re : Démonstration sur les suites.

    D'ailleurs ça soulève une question intéressante. Imaginons qu'on ait une fonction f définie sur ]0;+infini[.
    Quelle condition sur f doit on imposer pour pour avoir l'équivalence entre:
    i) Pour tout epsilon, il existe N, etc, bidule < f(epsilon)
    ii) Pour tout epsilon, il existe N, etc, bidule < epsilon
    ?

  12. #9
    invité576543
    Invité

    Re : Démonstration sur les suites.

    Citation Envoyé par matthias
    D'ailleurs ça soulève une question intéressante. Imaginons qu'on ait une fonction f définie sur ]0;+infini[.
    Quelle condition sur f doit on imposer pour pour avoir l'équivalence entre:
    i) Pour tout epsilon, il existe N, etc, bidule < f(epsilon)
    ii) Pour tout epsilon, il existe N, etc, bidule < epsilon
    ?
    Je pense que tu poses la question à titre d'exercice? Me trompe-je?

    Cordialement,

  13. #10
    Quinto

    Re : Démonstration sur les suites.

    Je dirais que f doit tendre vers 0 en 0, et ne jamais s'annuler au voisinage de 0.
    Bien entendu f est positive.

  14. #11
    matthias

    Re : Démonstration sur les suites.

    Citation Envoyé par mmy
    Je pense que tu poses la question à titre d'exercice? Me trompe-je?

    Cordialement,
    Plus ou moins, vu que je ne m'étais jamais posé la question en termes aussi généraux. Ceci dit je pense quand-même avoir une solution (au moins pour (i) implique (ii)).

  15. #12
    matthias

    Re : Démonstration sur les suites.

    Citation Envoyé par Quinto
    Je dirais que f doit tendre vers 0 en 0, et ne jamais s'annuler au voisinage de 0.
    Bien entendu f est positive.
    Je dirais que pour f(epsilon) = 1/epsilon ça marche encore. Ou si f tend vers 0 ailleurs qu'en 0.
    Ou même si 0 est adhérent à {f(epsilon) / epsilon > 0}.
    Non ? Qu'en dites-vous ?

  16. Publicité
  17. #13
    Bleyblue

    Re : Démonstration sur les suites.

    Citation Envoyé par mmy
    En fait c'est important parce que la formule "qqs epsilon, il existe ... <epsilon" est LA formulation normale de la condition de convergence. Avec un epsilon au carré, on peut arguer que ce n'est pas équivalent, et donc exiger de démontrer l'équivalence, ce qui presque l'exercice demandé!

    Cordialement,
    Ah bon. Ok alors ...

    Sinon pour l'exercice de matthias je ne comprend pas bien l'énoncé

  18. #14
    Quinto

    Re : Démonstration sur les suites.

    Citation Envoyé par matthias
    Je dirais que pour f(epsilon) = 1/epsilon ça marche encore. Ou si f tend vers 0 ailleurs qu'en 0.
    Ou même si 0 est adhérent à {f(epsilon) / epsilon > 0}.
    Ca me parrait plein de bon sens.
    Le fait que 0 soit adhérent {f(epsilon),epsilon>0} me semble être la condition la moins forte possible pour conserver le résultat.

    Non ? Qu'en dites-vous ?
    On se vouvoie maintenant matthias?

  19. #15
    matthias

    Re : Démonstration sur les suites.

    Citation Envoyé par Quinto
    On se vouvoie maintenant matthias?

    Vous étiez au moins deux à donner l'impression de vous intéresser à la question ...
    Ceci explique cela.

  20. #16
    invité576543
    Invité

    Re : Démonstration sur les suites.

    J'ai pas réfléchi, mais 1/epsilon m'étonne...

    EDIT : vu, cela demandait un poil plus de secondes que je n'y avais alloué!

  21. #17
    matthias

    Re : Démonstration sur les suites.

    Citation Envoyé par mmy
    J'ai pas réfléchi, mais 1/epsilon m'étonne...
    Pour epsilon > 0 donné. Tu poses truc = 1/epsilon > 0
    Tu as donc il existe N tq ........ bidule < 1/(truc) = epsilon

    [EDIT: ben oui, mais vu qu'il m'a fallu 2 poils de secondes pour écrire celui-là ]

  22. #18
    invité576543
    Invité

    Re : Démonstration sur les suites.

    En fait, même 0 adhérent à f(R) et f(epsilon)>0 pour tout epsilon est acceptable, non?

  23. Publicité
  24. #19
    Quinto

    Re : Démonstration sur les suites.

    Non probablement pas:
    f(x)=1/x si x négatif
    f(x)=1 sinon

  25. #20
    invité576543
    Invité

    Re : Démonstration sur les suites.

    Citation Envoyé par Quinto
    Non probablement pas:
    f(x)=1/x si x négatif
    f(x)=1 sinon
    Je voulais dire en modifiant "quelque soit epsilon dans R blabla <f(epsilon)" (et j'avais édité f(epsilon)>0...)

  26. #21
    matthias

    Re : Démonstration sur les suites.

    Je crois qu'il ne faut pas non plus se casser la tête.
    Dans la pratique on part d'un epsilon > 0 quelconque, c'est pour ça que j'avais pris ma fonction définie sur ]0;+infini[.
    Et démontrer l'équivalence ne sert à rien non plus, seul (i) => (ii) est intéressant pour démontrer une convergence.

    Si on veut faire un chouya plus général, on pourrait à la rigueur aller jusqu'à:
    Etant donné une fonction f de A dans IR, si on a:
    Pour tout x dans A, ................|bidule| < f(x)
    (ce qui implique déjà f(A) inclu dans ]0;+infini[)
    et si 0 est adhérent à f(A), alors:
    Pour tout epsilon > 0, .............. |bidule| < epsilon

    Mais je vois mal qui irait démontrer une convergence en partant d'autre chose qu'un réel > 0

  27. #22
    invité576543
    Invité

    Re : Démonstration sur les suites.

    Citation Envoyé par matthias
    Pour tout x dans A, ................|bidule| < f(x)
    (ce qui implique déjà f(A) inclu dans ]0;+infini[)
    Je ne crois pas que cela implique comme tu le dis, il y a des quantificateurs universels...


    Mais je vois mal qui irait démontrer une convergence en partant d'autre chose qu'un réel > 0
    Eh... Tu lances un pb, on cherche! On ne s'occupe de savoir si ça sert à quelque chose!

    Cordialement,

  28. #23
    matthias

    Re : Démonstration sur les suites.

    Citation Envoyé par mmy
    Je ne crois pas que cela implique comme tu le dis, il y a des quantificateurs universels...
    Si on prend une hypothèse qui dit explicitement que pour tout x dans A, f(x) strictement supérieur à quelquechose de positif, j'en déduis assez directement que si cette hypothèse est vérifiée f(A) est inclu dans ]0;+infini[ ...
    Mais j'avoue que c'est un peu idiot de ne pas le dire dès le début.

    Citation Envoyé par mmy
    Eh... Tu lances un pb, on cherche! On ne s'occupe de savoir si ça sert à quelque chose!
    Bon, d'accord, d'accord
    Et pour la réciproque de la dernière version alors ?

  29. #24
    invité576543
    Invité

    Re : Démonstration sur les suites.

    La condition de convergence est

    qqs A, il existe n0 | qqs n>n0, |xn|<f(A)

    Si f(A) est négatif, il n'existe pas de tel n0, et la condition n'est pas vérifiée. La condition de convergence n'est alors jamais vérifiée, ce qui n'est bien sûr pas acceptable!

    Il faut donc imposer f(R) inclus dans ]0, inf[

    Non?

  30. Publicité
  31. #25
    Greyplayer

    Re : Démonstration sur les suites.

    on peut envisager de mettre des valeurs absolues autour de f(epsilon) dans le problème
    sinon, je pense que la continuité en 0 doit suffire, mais peut-etre faut-il en plus que 0 ne soit pas un point d'accumulation de
    (x,f(x)=0) ou quelquechose comme ca
    je vais jeter un oeil sur le problème
    Sauver une vie ne prend que dix minutes:donnez votre sang!

  32. #26
    matthias

    Re : Démonstration sur les suites.

    Citation Envoyé par Greyplayer
    sinon, je pense que la continuité en 0 doit suffire
    Pour être honnête je ne vois même pas à quoi elle servirait. A moins que ce ne soit pour dire que la fonction tend vers 0 en 0. Mais bon on a déjà vu qu'on pouvait prendre des conditions beaucoup plus faibles.

  33. #27
    Greyplayer

    Re : Démonstration sur les suites.

    effectivement une condition de limite en 0 est plus interessante et plus facile à obtenir
    mille excuses
    Sauver une vie ne prend que dix minutes:donnez votre sang!

  34. #28
    matthias

    Re : Démonstration sur les suites.

    Mais regarde les messages précédents, tu verras que ça marche encore pour f(x) = 1/x qui ne tend pas vraiment vers 0 en 0
    Sinon c'est vrai que mettre une valeur absolue sur f aurait été plus simple.

  35. #29
    Greyplayer

    Re : Démonstration sur les suites.

    je voulais bien entendu parler de limite nulle
    l'important est que epsilon'=f(epsilon) puisse se rapprocher de zéro
    sans s'annuler constamment
    Sauver une vie ne prend que dix minutes:donnez votre sang!

  36. #30
    matthias

    Re : Démonstration sur les suites.

    Oui c'est ça, et il n'est pas important que la fonction tende vers 0 en un point donné, ni même à l'infini. Il suffit qu'on puisse se rapprocher de 0 autant que l'on veut, d'où la condition 0 adhérent à {f(x)}.

Sur le même thème :

Page 1 sur 2 1 DernièreDernière

Discussions similaires

  1. suites barycentres et démonstration par récurrence
    Par prune-elle dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 0
    Dernier message: 06/11/2007, 19h42
  2. [Démonstration] Suites récurrentes linéaires
    Par Seirios dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 10
    Dernier message: 28/10/2007, 07h34
  3. demonstration suites (TS)
    Par Rayure dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 8
    Dernier message: 22/09/2006, 06h45
  4. demonstration suites convergentes
    Par fany93 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 1
    Dernier message: 17/09/2006, 19h39
  5. Utilisation de suites pour un démonstration géométrique
    Par Sharp dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 13
    Dernier message: 09/04/2004, 16h18