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Démonstration sur les suites.



  1. #31
    invité576543
    Invité

    Re : Démonstration sur les suites.


    ------

    Il me semble qu'un élément d'un ensemble est adhérent à cet ensemble?

    Dans ce cas la condition de ne pas s'annuller doit être ajoutée:

    Avec valeur absolue, les conditions nécessaires et suffisantes semblent être

    0 adhérent à f(R)

    0 n'est pas dans f(R)

    Cordialement,

    -----

  2. Publicité
  3. #32
    matthias

    Re : Démonstration sur les suites.

    C'est une idée fixe dis moi
    Oui on peut l'imposer c'est plus simple et plus logique, je pensais que ce point était réglé...
    Mais je répète que si l'hypothèse "pour tout x .........; |bidule| < f(x)" est vérifiée, alors c'est forcément vrai.

  4. #33
    invité576543
    Invité

    Re : Démonstration sur les suites.

    Citation Envoyé par matthias
    C'est une idée fixe dis moi
    Oui on peut l'imposer c'est plus simple et plus logique, je pensais que ce point était réglé...
    Mais je répète que si l'hypothèse "pour tout x .........; |bidule| < f(x)" est vérifiée, alors c'est forcément vrai.
    Juste têtu quand je ne comprends pas quelque chose qu'il me semble que je devrais comprendre. Je ne suis pas d'accord avec ce que tu répètes, et il me semble avoir expliqué pourquoi...

    Cordialement,

  5. #34
    matthias

    Re : Démonstration sur les suites.

    Bon, étant donné que j'avais mal compris ce que voulait dire mmy à qui je fais toutes mes excuses, clarifions la situation:

    On prend une fonction de A dans IR et les deux propositions suivantes:
    (i) Pour tout x dans A, il existe ................... |bidule| < |f(x)|
    (ii) Pour tout epsilon > 0, il existe ............... |bidule| < epsilon

    Condition suffisante pour (i) => (ii) : 0 adhérent à {f(x)}
    Condition suffisante pour (ii) => (i) : 0 n'appartient pas à {f(x)}
    Condition suffisante pour (i) <=> (ii) : 0 adhérent à {f(x)} et 0 n'appartient pas à {f(x)}

    On est tous d'accord cette fois ?

  6. #35
    Greyplayer

    Re : Démonstration sur les suites.

    on peut encore simplifier en utilisant la notion de point d'accumulation
    rappelons qu'un point d'accumulation a de A est un point adherent à
    A-{a}
    en fait, c'est un point qui peut etre adherent à A en prenant une suite de AN non stationnaire de valeur a
    on peut donc remplacer 0 adherent à {f(x)} et 0 n'appartient pas à {f(x)} par 0 est 0 un point d'accumulation de {f(x)}
    ce qui permet d'inclure des fonctions idiotes et inutiles telles que
    f:R+ ->R
    x->{1/(x+1) si x E N
    {0 sinon
    Sauver une vie ne prend que dix minutes:donnez votre sang!

  7. #36
    matthias

    Re : Démonstration sur les suites.

    Si 0 est adhérent à {f(x)} et 0 n'appartient pas à {f(x)} alors 0 est nécessairement un point d'accumulation je suis d'accord. Mais la réciproque n'est pas vraie, et si 0 appartient à {f(x)} la proposition (i) n'est jamais vérifiée (sous sa forme actuelle en tout cas).

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  9. #37
    Greyplayer

    Re : Démonstration sur les suites.

    avec le point d'accumulation, je ne vérifie certes pas i)
    mais je ne suis pas sur que i) soit vraiment la condition cherchée
    rapelle-toin cherchait les fonctions f telles qu' on puisse choisir des x particuliers afin d'utiliser f(x) comme un epsilon pour montrer la convergence d'une suite vers 0
    le pour tout x E A est donc, je pense, inutile
    Sauver une vie ne prend que dix minutes:donnez votre sang!

  10. #38
    invité576543
    Invité

    Re : Démonstration sur les suites.

    Et je ne comprends pas l'exemple, qui contient explicitement 0 dans l'image de f???

    Ca doit être une erreur, il suffit de prendre

    f:R+ ->R
    x->{1/(x+1) si x E N
    {1 sinon

    Cordialement,

  11. #39
    invité576543
    Invité

    Re : Démonstration sur les suites.

    Citation Envoyé par Greyplayer
    avec le point d'accumulation, je ne vérifie certes pas i)
    mais je ne suis pas sur que i) soit vraiment la condition cherchée
    rapelle-toin cherchait les fonctions f telles qu' on puisse choisir des x particuliers afin d'utiliser f(x) comme un epsilon pour montrer la convergence d'une suite vers 0
    le pour tout x E A est donc, je pense, inutile
    Certes, mais ce n'est pas simple à réexprimer alors, il me semble. Que proposes-tu comme condition de convergence? En l'écrivant en entier!

    Cordialement,

  12. #40
    Bleyblue

    Re : Démonstration sur les suites.

    Tenez j'ai une autre proposition ici :



    Il me semble évident que c'est faux, mais je doute (comme toujours) de ma justification :

    Par hypothèse on a :



    donc :



    et ça nous donne donc trois cas :

    1) Xn converge vers zéro tout en étant < 0 (et donc la proposition ci dessus sera fausse)
    2) Xn converge vers zéro tout en étant > 0 (et donc la proposition ci dessus sera vraie)
    3)Xn converge vers zéro en étant ni tout le temps > 0 ni tout le temps < 0 (et donc la proposition ci dessus sera fausse)

    Mais il faudrait mettre ça sous forme mathématique maintenant.

    Donc pour 1 :



    et donc la suite diverge vers

    pour 2 :



    et donc la suite converge vers

    mais comment pourrais-je justifier le cas n°3 ? Vous avez une idée ?

    merci

  13. #41
    invité576543
    Invité

    Re : Démonstration sur les suites.

    Citation Envoyé par Bleyblue

    mais comment pourrais-je justifier le cas n°3 ? Vous avez une idée ?
    Il suffit de trouver deux suites extraites, l'une convergeant en +inf, l'autre en -inf...

    Or la formulation correcte du cas 3 entraînera l'existence de ces sous-suites...

    Cordialement,

  14. #42
    matthias

    Re : Démonstration sur les suites.

    Pourquoi ne pas te contenter de donner un contre-exemple simple, genre xn = -1/n ?

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  16. #43
    Bleyblue

    Re : Démonstration sur les suites.

    Ah eh bien oui c'est une bonne idée ça tient ...
    Je vais essayer de faire ça en justifiant du mieux que je peux, merci également à toi mmy pour ta réponse.

  17. #44
    GuYem

    Re : Démonstration sur les suites.

    La suite -1/n entre dans le cas 2. Ce n'est surement pas un bon contre exemple pour le cas 3.

    Fais plutôt apparaitre une oscillation de signe à l'aide d'un bon vieux (-1)^n pour trouver un exemple du cas 3.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  18. #45
    Bleyblue

    Re : Démonstration sur les suites.

    Citation Envoyé par GuYem
    La suite -1/n entre dans le cas 2. Ce n'est surement pas un bon contre exemple pour le cas 3.
    Je suppose que matthias voulait parler de contredir la propositon de départ en bloc.

    Mais ton idée est chouette, merci

  19. #46
    GuYem

    Re : Démonstration sur les suites.

    Ok j'avais mal compris ce que voulait dire matthias.

    Mais tu sembles avoir bien compris tous les problèmes qui peuvent se poser dans les différents cas, autant les illustrer.

    Par contre ce qui est vrai c'est que si x_n converge vers 0 alors 1/|x_n| converge vers +oo.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  20. #47
    matthias

    Re : Démonstration sur les suites.

    Je pensais que Bleyblue voulait juste une démonstration du fait que sa proposition initiale était fausse. Dans ce cas on fait difficiliment plus simple qu'un contre-exemple.

    Maintenant si vous tenez à décortiquer les cas possibles, il faut l'écrire de manière plus rigoureuse que ce qu'a fait Bleyblue:
    Citation Envoyé par Bleyblue
    1) Xn converge vers zéro tout en étant < 0 (et donc la proposition ci dessus sera fausse)
    2) Xn converge vers zéro tout en étant > 0 (et donc la proposition ci dessus sera vraie)
    3)Xn converge vers zéro en étant ni tout le temps > 0 ni tout le temps < 0 (et donc la proposition ci dessus sera fausse)
    Pour le cas 1, il suffit que xn < 0 à partir d'un certain rang pour avoir 1/xn tend vers -infini.
    Pareil pour le cas 2.
    Pour le cas trois il faudrait dire:


    Et là, les suites extraites à choisir apparaissent toutes seules.
    C'est d'ailleurs exactement ce que disait mmy dans le message #41.

    Sinon il faudrait quand-même au moins supposer que xn est non nul à partir d'un certain rang pour que tout ceci ait un sens.

  21. #48
    Bleyblue

    Re : Démonstration sur les suites.

    J'ai encore une question :



    cela vaut bien zéro ?
    Je pense que oui, mais si je remplace les intervalles ouverts par des fermés alors ? Cela change quelque chose ?

    merci

  22. Publicité
  23. #49
    matthias

    Re : Démonstration sur les suites.

    Citation Envoyé par Bleyblue


    cela vaut bien zéro ?
    C'est égal à {0}, ça ne vaut pas 0.
    Mais une petite démo rigoureuse t'enleverait tous tes doutes

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Je pense que oui, mais si je remplace les intervalles ouverts par des fermés alors ? Cela change quelque chose ?
    Non, ça ne change rien. Pareil, une petite démo.

  24. #50
    Bleyblue

    Re : Démonstration sur les suites.

    Ah oui en effet l'intersection d'ensembles est un ensemble.
    Je dois encore apprendre à être rigoureux moi ...

    Je vais essayer de démontrer

    merci !

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