[Démonstration] Suites récurrentes linéaires

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'aurais un petit problème de raisonnement à propos d'une démonstration concernant les suites récurrentes linéaires de type .

Il s'agit de démontrer que l'ensemble de solution de l'égalité est , avec et où sont les racines de l'équation caractéristique (on a par conséquent )

Pour cela, il suffit de montrer que puis Dans le second cas, on cherche à montrer que tout u de S(E) peut s'écrire comme une combinaison linéaire de s et de t, c'est-à-dire :



Equation qui implique pour les indices 0 et 1 :


Et

A partir de là, on peut trouver l'inclusion cherchée par un raisonnement de récurrence.

Néanmoins, je ne vois pas comment la démonstration peut tenir debout si on ne justifie pas les équations des indices 0 et 1. Comment sait-on que ces équations sont justes ?

Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

Merci d'avance
Phys2
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[invitea3eb043e]

Ton raisonnement est très bien, il te permet de trouver r1 et r2, pas de problème tant qu'il n'y a pas de racine double.
Ensuite tu peux trouver les lambda à partir de u0 et u1.
Ensuite tu vas comparer les u2 que tu obtiens de 2 manières différentes : soit à partir de la relation constitutive (la première) soit en disant que c'est lambda1*r1² + lambda2*r2².
Ca donnera évidemment la même chose et tu auras établi ta récurrence.

[Seirios]

Ca donnera évidemment la même chose et tu auras établi ta récurrence.

En fait je ne cherche pas à établir la relation de récurrence, mais j'ai dû mal m'exprimer : Ce que je ne comprends pas, c'est que la démonstration est basée sur les équations , à partir desquelles est basé le raisonnement par récurrence qui suit.

Néanmoins, comment est-on sûr de la véracité de ces deux relations ? Car si ce n'est pas le cas, alors la démonstration ne tient pas debout...

[invite3240c37d]

Phys2, je ne vois pas ce qui te gêne !

Si , alors et il existe uniques tels que , d'où par récurrence

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

Phys2 : que veux tu dire par "véracité des équations" ???

une equation, c'est pas unr proposition, ca ne peut pas etre vrai ou faux ?


ou alors tu te demande "comment peut-on etre sur qu'elles ont des solutions" ?


si c'est le cas, et bien tu peut résoudre explicitement et voir qu'il y a des solutions des que les deux racines sont distinctes.


mais si tu as fait un peu d'algèbre linéaire il est plus simple de raisoner par dimension : l'ensemble des solution est de dimenion 2 (toute suite est définit par les valeurs de U0 et U1) et sn et tn sont deux solution indépendante (si elles sont distinctes...) donc une base de l'ensemble des solutions.

[invitea3eb043e]

En fait je ne cherche pas à établir la relation de récurrence, mais j'ai dû mal m'exprimer : Ce que je ne comprends pas, c'est que la démonstration est basée sur les équations , à partir desquelles est basé le raisonnement par récurrence qui suit.

Néanmoins, comment est-on sûr de la véracité de ces deux relations ? Car si ce n'est pas le cas, alors la démonstration ne tient pas debout...

Ces équations sont vraies puisque c'est comme ça qu'on calcule les lambda à partir de u0 et u1.
Simplement on ne peut calculer les lambda que si les r1 et r2 sont différents.

[Seirios]

Si , alors et il existe uniques tels que

Mais ce que je ne comprends pas (désolé si j'insiste ) c'est qu'on pose sans justifier

Comment est-on sûr que le premier et le second terme de la suite u sont donnés par ces relations ?

[inviteaf1870ed]

On SAIT que la suite s'écrit comme une combinaison linéaire de r1ⁿ et r2ⁿ donc elle s'écrit

U_n=lambda1 r1ⁿ+ lambda2 r2ⁿ et cette égalité est vraie pour tout n. Elle est donc vraie en particulier pour n=0 et pour n=1.
On écrit le système pour ces deux valeurs :
U₀=lambda1 r1⁰+ lambda2 r2⁰=lambda1 + lambda2
U₁=lambda1 r1¹+ lambda2 r2¹=lambda1 r1+ lambda2 r2

On en déduit lambda 1 et 2, puisqu'on connait toutes les autres valeurs, et que le système admet une solution unique.

[invitea3eb043e]

Mais ce que je ne comprends pas (désolé si j'insiste ) c'est qu'on pose sans justifier

Comment est-on sûr que le premier et le second terme de la suite u sont donnés par ces relations ?

Les termes u0 et u1 sont donnés par l'énoncé, on s'en sert pour calculer les C1 et C2, c'est tout. Ca marche si r1 différent de r2.

[invite4ef352d8]

"Comment est-on sûr que le premier et le second terme de la suite u sont donnés par ces relations ?" >>> non le principe c'est de trouver C1 et C2 telle que : (c'est un systeme de deux equation a deux inconnu C1 et C2, il ce trouve qu'il a une unique solution si et seulement si r1 et différent de r2.

[Seirios]

Donc on définit les constantes et telles que les relations soient respectées...

Merci à tous