suites récurrentes!!!

[invite6ba95808]

On considère la suite définie par son premier terme u0 appartenant à]1; plus l'infini[ et la relation de récurrence un+1= racine( 3un -2) pour tout n.

1) Déterminer le sens de variation de la fonction f définie par f(x) = racine (3x-2) puis tracer dans un repere ortho la courbe C représentative de f et la droite D d'équation y=x sur [0;3].

Je l'ai fait. En calculant f' (x) qui donne 3/ (2 racine (3x-2)); on trouve f'x positif sur [2/3; plus l'infini[ et donc f est croissante.

2) On considère u0= 1.5
a) Utiliser les courbes D et C pr construire sur l'axe des abscisses les pts u0, u1, u2, u3 et u4.
Que peut on conjecturer pour la suite un??

J'ai trouvé u1 = 1.58
u2= 1.65
u3= 2.229
u4= 2.16
Comme conjecture j'ai dit que un est inférieur à 3.

b) Démontrer par récurrence sur n que la suite est croissante.

Voici ce que j'ai fait: démontrons que un+1 est supérieur à Un.
u0= 1.5 et u1= 1.58 donc u1 est supérieur à u0 donc la première propriété est vraie.
par hypothèse de récurrence: un+1 est supérieur à un
donc f(un+1)est supérieur à f(un) car f est croissante
comme f(un) =un+1 et f(un+1) = un+2 on a donc:
un+2 supérieur à un+1.
D'apres le principe de récurrence pour tt n , un +1 est supérieur à un et donc un est croissante.

c) démontrer que la suite est bornée.

Je sais qu'une suite est bornée si elle est majorée et minorée.
Je pense que un est minorée par son premier terme (1.5) car elle est croissante. mais elle sera majorée par 3 et je n'en suis pas sure.

d) En déduire que la suite est convergente et trouver sa limite.

Une suite est convergente vers l, si tout intervalle ouvert contenant l, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang
lim un = l quand n tend vers +l(infini.

3) Considère u0 appartenant à ]2; plus l'infini{
a) etudier le signe de u1 -u0. en déduire le sens de variation de la suite.

Je sais que u0 est positif
que u1 l'est aussi mais u1 est inférieur à u0 ( je n'arrive pas à le justifier)
u1 -u0 est donc négatif ce qui entraine que la suite soit décroissante.

b) Démontrer que la suite est minorée

Le minimum est 2/3 car racine (3x-2) est supérieur à 0.

c) en déduire que la suite est convergente

La suite u est décroissante et minorée par 2/3 donc u converge vers un réel l supérieur à 2/3.
Pour tout n, un+1 = f(un) où f est la fonction f(x) = racine (3x-2). F continue sur R donc en particulier f continue en l
donc f(l)= l c'est à dire:
racine (3l-2)=l
Je ne sais pas comment trouver l.


Merci beaucoup de m'aider! Bonne journée!@+
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[mytikjuve]

Pour prouver qu'elle est majoré par 3, tu peux dire:
"Il semblerait que la suite est majoré par 3, verifions le:
u0<3, ...(petite demonstartion de recurrence), donc pour tout n Un<3.

Pour la convergence, il te suffit de dire que ta suite est majoré et strictement croissante.

Pour la question 3 tu peux recurrer avec un>2

Pour la derniere question tu peux trouver l en elevant au carré les deux membres ce qui va tre donné deux solution avec une seule de valable, mais je crois pas qu'il te soit demander de trouver l.

[invite6ba95808]

Merci pour ta réponse mais il a quelque chose que je n'ai pas compris. Il s"agit de la question 3) si je dis que un est supérieur à 2, mon minimum serait donc de 2 et je ne sais pas comment prouver ceci. Merci beaucoup.

[invite787e8665]

Ce n'est pas parce que Un>2 pour tout n de N que forcément 2 est le minimum, 2 n'est qu'un simple minorant comme il en existe une infinité

Pour montrer que le minimum de ta suite est 2, il faut montrer que U0=2 (je sais pas si c'est le cas) et comme tu a montré qu'elle est croissante alors 2 est bien le minimum de la suite

[A voir en vidéo sur Futura]