[Maths spé] Suites récurrentes

[Nox]

Bonjour !

Une petite question lorsqu'on me demande d'établir le terme général d'une suite définie par , ma méthode convient-elle ou y a t il mieux ?
Je résouds comme si c était nul, je trouve avec la méthode de l'équation caractéristique le terme général (je détaille pas plus ...). Puis pour que ca vérifie l'équation de récurrence, je rajoute d à chaque terme tel que d+ad+bd=c ...
ce qui revient quelque part à faire comme pour les équadiffs lorsque on rajoute une solution particulière d'équadiff à la solution générale de l'équation homogène associée...
j'ai déjà vu ce lien entre la résolution d'équadiff et les suites récurrentes lorsqu'on m'a fait montrer avec les diagonalisation que ces problèmes sont similaires...

j'aimerai aussi savoir comment exprimer clairement cette idée : on ajoute une solution particulière à la solution générale de l'équation homogène ? pour justfier d'ou sort mon d ?

Merci de m'aider ! (et même si c'est pas "URGENT PLEASE AIDEZ MOI !" ce serait bien rapidement dirons nous car les écrits des concours commencent lundi pour moi ...)

Cordialement,

Nox
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[invitedef78796]

Bonsoir,

Bien vu c'est exactement comme les équadiffs :

Soit et deux suites "solutions" de l'équation complète. Il est clair que est solution de l'équation homogène.

Réciproquement, tu vérifies facilement que toute suite de la forme convient d'où le résultat.

Après, peu importe la façon dont tu trouves une solution particulière : dans ton cas, on peut trouver une suite constante (égale à d) qui est solution particulière mais tu aurais pu t'en tirer aussi bien avec un second membre un peu plus compliqué...

Cordialement,

[Nox]

Bonjour,

Merci IceDL de ta réponse ! En fait j'ai réagi après qu'il s'agissait de la tranche d'une application linéaire, celle qui va de l'ensemble des suites dans K qui a une suite u associe la combinaison linéaire de trois termes de la suite, donc un élément de k si la suite en question est à valeur dans K. Donc la solution générale sera une solution particulière (ici une suite constante) + la solution générale du noyau de cette application, qui est de manière évidente linéaire...
Cependant, un petit détail me laisse pensif : mon application ne doit pas être dépendante de la valeur de n, sinon je ne peux pas appliquer cette méthode, non ?

Cordialement,

Nox

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Juste une remarque: Si a+b+1 = 0, ton équation en d est
0*d = c, ce qui n'a pas beaucoup de solution en général.
A mon avis, cela ne doit pas être très grave.
Pose
a_n = u_n, b_n = u_{n+1}, c_n = c.
Alors ton équation peut s'écrire sous la forme X_{n+1} = A X_n, où X_n est le vecteur de k^3 formé par (a_n,b_n, c_n) et A est une matrice 3*3:

Du coup, la solution se calcule explicitement en regardant A^n comme d'habitude.

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rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Au passage, une remarque: le cas a+b+1 = 0 correspond au cas où les constantes sont des solutions de l'équation homogène.

Autre remarque : On peut certainement faire comme pour les équa diff. Regardez les solutions de l'équation homogène et faire une méthode de type variation de la constante. Pour cela, on a besoin de deux solutions indépendates x_n et y_n de l'équation homogène (typiquement x_0 = 0, x_1 = 1, et y_0 = 1, y_1 = 0) puis on vérifie que le "wronskien"
w_n = det(M_n) ne s'annule jamais parce qu'il vérifie une équation du type w_{n+1} = qqc* w_n (je pense que le quelque chose en question est a).
Ah oui, au fait, M_n, c'est la matrice
( x_n y_n,
x_{n+1}, y_{n+1}).
Enfin, on peut chercher une solution particulière sous la forme:
u_n = a_n x_n + b_n y_n
En l'introduisant dans l'équation que u_n doit vérifiée, et en utilisant la défintion de x_n et de y_n, tout doit se simplifier un peu, et on doit retomber sur une équation linéaire en a_n et b_n qui fait intervenir la matrice M_n.

La première méthode est clairement plus algébrique et est inspirée de l'étude des suites X_{n+1} = AX_n, alors que la deuxième est clairement plus orientée équation différentielle, mais je pense que les deux sont intéressantes à écrire.

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rvz
PS : Bonne chance pour les concours

[invite4ef352d8]

C'est une démarche géneral de résolution des équation dites affines.

une equation affine c'est une equation de la forme f(X)=a d'inconu X, avec f application linéaire.

ici f est l'application qui à la suite Un associe la suite a*Un+2+b*Un+1+c*Un.


toute ces equation (equation différentielle, recurence linéaire, mais aussi bien d'autre) ce résolve en faisant le "solution géneral de l'equation sans second membre+ solution particulière"

[Nox]

bonjour !

Merci rvz pour toutes ces précisions ! Je regarderai peut-être plus la deuximèe méthode avec le wronskien un autre jour, parce que mes profs m'ont dit d'arrêter de bosser à J-2.. Sinon pour la première méthode j'ai compris, à ceci près que le a et le b sont inversés pour moi dans la matrice A, mais ceci n'est que du détail l'essentiel est la méthode...

Merci beaucoup de vos explications !

Cordialement,

Nox