Séries entières de matrices

[invitedef78796]

Bonjour à tous,

Je me suis récemment demandé s'il existait des méthodes un tant soit peu systématique pour résoudre des équations matricielles de la forme :



où

Et histoire de traiter un cas qui se rapproche de la théorie des polynômes annulateurs de matrices, je me suis dit que l'on pouvait commencer par s'intéresser au cas où f est "développable en série entière" (la présence des guillemets est indispensable ) :



Encore faut-il que cette série converge.

étant complet, la convergence absolue entraîne la convergence, on peut donc commencer à regarder la convergence absolue : on se donne une norme à tout hasard multiplicative.

La série en cause converge absolument si (mais pas seulement si) la série converge, ce qui nous ramène à des séries entières.

Or, outre le fait que l'on a pas de réciproque, cela ne traite pas le cas où la série ne converge pas absolument. Je pense qu'avec un corps comme , il faut réduire la matrice, mais je n'ai pas trop d'idées.

En bref, existe-t-il une condition nécessaire et suffisante simple (par exemple sur les valeurs propres de la matrice A) pour que converge dans ?

Merci à ceux qui auront eu le courage de me lire jusqu'au bout
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[GuYem]

Je n'ai même pas peur de balancer un truc du genre : si toutes les valeurs propres sont dans le disque de convergence de la série entière somme(a_n,z^n), alors ta série de matrice converge.

Attention, ce n'est pas parce que je n'ai pas peur que c'est vrai !

[invitedef78796]

Je n'ai même pas peur de balancer un truc du genre : si toutes les valeurs propres sont dans le disque de convergence de la série entière somme(a_n,z^n), alors ta série de matrice converge.

Attention, ce n'est pas parce que je n'ai pas peur que c'est vrai !

Bonjour,

C'est vrai que cela a l'air raisonnable : si A est diagonalisable :



converge si et seulement si converge ce qui est encore équivalent à :

converge dans

ce qui est en particulier vrai lorsque toutes les valeurs propres sont dans le disque ouvert de convergence de la série entière

mais pas seulement si par exemple , alors converge (vers ).


En généralisant au cas non diagonalisable, j'ai bien l'impression qu'il faille passer par une réduction du type Jordan. Il y a peut être plus simple mais je ne vois pas : si quelqu'un a une idée...

Merci !

[GuYem]

Pour le cas non diagonalisable, je n'ai pas peur non plus.

En effet, dans C on peut toujours trigonaliser. Sur la diagonle apparaissent les valeurs propres et ce qu'il reste au dessus de la diagonale est une matrice nilpotente.

Plus clairement, réécrit ce que tu as fait sauf qu'au lieu de D diagonale, tu mets T triangulaire supérieure ; ecris T = D + N, D diagonale, N nilpotente. Tu verras que par nilpotence de N, la convergence de la série a_n A^n ne repose que sur celle de a_n D^n.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedef78796]

Pour le cas non diagonalisable, je n'ai pas peur non plus.

En effet, dans C on peut toujours trigonaliser. Sur la diagonle apparaissent les valeurs propres et ce qu'il reste au dessus de la diagonale est une matrice nilpotente.

Jusque là je suis d'accord

Plus clairement, réécrit ce que tu as fait sauf qu'au lieu de D diagonale, tu mets T triangulaire supérieure ; ecris T = D + N, D diagonale, N nilpotente. Tu verras que par nilpotence de N, la convergence de la série a_n A^n ne repose que sur celle de a_n D^n.

Hmm, comment tu t'en sors ? Parce qu'avec le binôme de newton (dans cette décomposition, ça commute), on tombe sur :



Cordialement,

[GuYem]

Je pense que tu t'en sors parce que les puissance de N plus grande que n-1 sont nulles. Je pense qu'une interversion de sommes dans ce que tu as écrit (toujours sans avoir peur de rien) devrait faire marcher les choses.

Encore une fois, ce que je dis est assez brute ; si ça se trouve, c'est que des bétises !

[invitedef78796]

Je pense que tu t'en sors parce que les puissance de N plus grande que n-1 sont nulles. Je pense qu'une interversion de sommes dans ce que tu as écrit (toujours sans avoir peur de rien) devrait faire marcher les choses.

Ben, j'ai essayé... et je n'ai pas réussi :

Notons l'indice de nilpotence de N, on va prendre la série tronquée à partir du rang et on regarde les sommes partielles :







Mais après ? Je suis pas sûr qu'on aboutisse...

[GuYem]

Je te propose d'écrire bourrinement un truc comme cela :


Sur cette dernière expression, je crois que l'on voit que ça ne dépend que de la convergence de la série en D.

Au passage, j'adore ce changement de somme, faut faire un dessin pour le voir.

[invitedef78796]

Je te propose d'écrire bourrinement un truc comme cela :


Sur cette dernière expression, je crois que l'on voit que ça ne dépend que de la convergence de la série en D.

Je ne crois pas ; je te propose un contre-exemple :



ie avec :



la matrice identité



notre nilpotente

Avec le binome de Newton on voit que :



et par exemple, la série diverge alors que la série converge !

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Sauf erreur, si tu définis le rayon spectral p(A) comme le sup des modules des valeurs propres de A, alors f(A) est bien défini si p(A) < R(f) =rayon de convergence de f.
Si mes souvenirs sont bon, cela se démontre par exemple en bidouillant la norme pour trouver une norme 'proche' du rayon spectral. C'est plutot fastidieux, mais dès que cela est fait, c'est très clair.
De plus, si p(A) > R(f), clairement, la série diverge sur un espace propre, donc f(A) n'a pas de sens.
Si p(A) = R(f), alors ça dépend des fois. Cf le précédent post par exemple: T et I ont pour rayon spectral 1, mais les deux séries n'ont pas le même comportement, et ceci rentre bien dans ce que je dis puisque le rayon de convergence de la série proposé est 1.

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rvz

[invite6b1e2c2e]

PS : La démonstration proposée par Guyem marche si l'on suppose bien p(A) < R(f), auquel cas le contre exemple n'est plus valide.
PPS : Je recommande la lecture de la page wiki Spectral Radius (en anglais), où on voit bien ce qui se passe.

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rvz, qui a du mal à tout dire en une fois ...

[invitedef78796]

Bonsoir et merci à vous deux pour vos réponses !

A présent, si je fais le bilan de vos réponses, on est en mesure d'affirmer (pour démontrer on verra plus tard) le résultat suivant :

Soit et une série entière de rayon de convergence R,

Si pour toute valeur propre de , alors la série numérique converge.

Cela permet déjà de dire pas mal de choses.

[invitedef78796]

Bon par ailleurs je viens d'essayer avec Jordan et j'ai obtenu le résultat suivant :

Je trouve la réduite de Jordan, on l'appelle J, de ma matrice A sous la forme :



la convergence de la série est équivalente à la convergence simultanée de chacune des "sous"-séries

On remarque pour après un calcul que le coefficient d'ordre (i,j), , de la matrice est :



ce qui est grosso_modo le terme général de la série entière j-ème dérivée de , série dérivée d'ordre j qui doit nécessairement converger en pour que toute la série converge.

Qu'en pensez vous ?

[invitedef78796]

On remarque pour après un calcul que le coefficient d'ordre (i,j), , de la matrice est :

Oups petite faute de frappe, il fallait lire :



Cordialement,

[invitedef78796]

Bonjour, hier soir il était tard et j'ai écrit quelques bêtises, je reprend :

Je trouve la réduite de Jordan, on l'appelle J, de ma matrice A sous la forme :



la convergence de la série est équivalente à la convergence simultanée de chacune des "sous"-séries


On remarque pour après un calcul que le coefficient d'ordre (i,j), , de la matrice est :



terme général de la série entière dérivée d'ordre j de qui doit nécessairement converger en pour que toute la série converge.


En termes de séries entières, si une série entière converge en un point, ses séries primitives convergent aussi en ce point d'où ma conclusion partielle :

Soit une matrice de Jordan de taille , converge si et seulement si la série entière dérivée d'ordre converge en


Du point de vue de la matrice A, se pose le problème de connaître la taille de ses blocs de Jordan.

Je ne sais pas si mon raisonnement est bon, cependant.

Cordialement,