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DM (TS - spé)



  1. #1
    Paradoxe

    DM (TS - spé)

    Salutation

    Alors j'aurais besoin de votre aide pour cette question qui me fait m'arracher les cheveux depuis 2 jours

    Enoncé (c'est une question d'un des exos de mon premier DM de spé math) :
    x et y désigne des entiers relatifs.

    (E') est l'équation diophantienne 2x²-y²=5.
    En raisonnant modulo 5, démontrer que l'équation (E') n'a pas de solutions.

    Mon raisonnement (bloqué et n'aboutissant pas...):

    2x²-y²=5
    Donc : 5/2x²-y²
    Ainsi : 2x² congrue à y² (modulo 5)
    et là je sait pas quoi faire

    Merci d'avance.

    -----

    Dernière modification par Paradoxe ; 20/09/2006 à 16h10.

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  3. #2
    shokin

    Re : DM (TS - spé)

    Citation Envoyé par Paradoxe Voir le message
    (E') est l'équation diophantienne 2x²-y²=5.
    En raisonnant modulo 5, démontrer que l'équation (E') n'a pas de solutions.
    Dans Z/5Z, il y a cinq classes, de la classe 0 à la classe 4. La classe m contient les entiers dont le reste, après division par 5, est m. Par exemple, la classe 3 modulo 5 contient : {...;3;8;13;18;...}.

    1. Analyse à quelles classes peuvent appartenir les carrés des entiers. Ensuite, à quelles classes peuvent apporter les doubles de carrés. Que constates-tu ?

    2. Comme 2x²-y²=5, cela implique que le double d'un carré d'un entier soit congruent à un carré d'un entier modulo 5, or ...

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  4. #3
    Paradoxe

    Re : DM (TS - spé)

    Salut,

    Tout d'abord, merci grâce à toi je commence à y voir plus clair.

    Ensuite pourais-tu m'expliquer exactement ce que signifie la notation : Z/5Z

    Merci d'avance.

  5. #4
    shokin

    Re : DM (TS - spé)

    Z est l'ensemble des entiers.

    On dit qu'on est dans Z/nZ (avec n entier) quand on parle modulo n.

    Dans Z/6Z, il y a six classes. L'on précise que l'on est dans Z/6Z, parce que, par exemple, la classe 2 dans Z/6Z n'est pas la même que la classe 2 dans Z/5Z.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  6. #5
    Paradoxe

    Re : DM (TS - spé)

    Bonsoir,

    Je comprend pas très bien comment démontrer tout ça avec ces classes (j'ai chercher pas mal de temps et je trouve rien... j'arrive pas à commencer le raisonnement )
    Analyse à quelles classes peuvent appartenir les carrés des entiers. Ensuite, à quelles classes peuvent apporter les doubles de carrés. Que constates-tu ?
    Je comprend pas très bien comment définir leur appartenance…

    En fait je comprend pas grand chose dsl (en même temps c'est la première fois que l'on travail sur ce genre d'exo mais bon...)

    Merci d'avance

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    evariste

    Re : DM (TS - spé)

    Il y a cinq nombres(ou classes ) dans Z/5Z; fais les calculs

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  10. #7
    Paradoxe

    Re : DM (TS - spé)

    Citation Envoyé par evariste Voir le message
    Il y a cinq nombres (ou classes ) dans Z/5Z; fais les calculs
    heu alors là, je comprend plus rien comment je peut faire des calculs avec des classes ?

  11. #8
    evariste

    Re : DM (TS - spé)

    Z/5Z est un anneau dont il a une addition et une multiplication (c'est même un corps car 5 est premier)
    Cette multiplication et cette addition sont induites par celles de Z

  12. #9
    Paradoxe

    Re : DM (TS - spé)

    Citation Envoyé par evariste Voir le message
    Z/5Z est un anneau dont il a une addition et une multiplication (c'est même un corps car 5 est premier)
    Cette multiplication et cette addition sont induites par celles de Z
    hum dsl mais tu pourait me parler en chinois ce serais a peu près pareil on a pas encore vu ni les anneaux ni les corps...

    Merci quand même d'essayer de me faire comprendre

  13. #10
    shokin

    Re : DM (TS - spé)

    Bon...

    soit n, entier positif ; tu va chercher à quelle classe appartient son carré :

    n => n^2 => classe de (n^2) [si je laisse en ..., c'est à toi de trouver]

    1 => 1 => ...
    2 => 4 => ...
    3 => 9 => ...
    4 => 16 => ...
    5 => 25 => ...
    6 => ... => ...
    ... => ... => ...

    tu vas remarquer une régularité qui s'explique notamment par :

    (n)C(n+5) (mod 5)

    donc

    (n)^2 C (n+5)^2 (mod 5)

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  14. #11
    Paradoxe

    Re : DM (TS - spé)

    Merci à tous, ce fut laborieux mais j'ai enfin compris.

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