Petit exercice sur les complexes

[invite05d90db7]

Bonjour,

Voilà je bloque sur un exercice, probablement pas très difficile, sur les complexes, mais j'ai beau y faire je ne trouve pas le bon raisonnement.

Soit ϴ Є ]0;π[ et z = 1 - cosϴ + isinϴ. Comment calculer lzl et arg z ?

Merci de votre aide, car j'avoue vraiment tourner en rond...
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[invitec7f96499]

module de z : racine de : (la partie imaginaire au carré)²+(la partie réelle)²

[Hamb]

une autre méthode :
Tu peux mettre ton z sous la forme où alpha dépend de theta (donc est connu) assez facilement.
Ensuite si tu mets en facteur tu obtiens une quantité du type avec a réel.
Ensuite en utilisant le fait que le module d'un produit est le produit des modules, et que l'argument d'un produit est la somme des arguments, tu trouves le module et l'argument de z aisément.

[invite05d90db7]

Merci, il fallait effectivement mettre sous forme exponentielle et factoriser par e^(iϴ/2), tel que
z=e^(iϴ/2)(e^(-iϴ/2) - e^(iϴ/2)).
On trouve alors un module lzl=2sin(ϴ/2) (si je ne me suis pas trompé en tout cas). Par contre j'ai plus de mal avec l'argument. Je n'arrive pas à trouver l'argument du deuxième membre... une idée?
Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Hamb]

tout dépend de ce qu'est ton deuxième membre ^^
En tout cas pense bien que l'argument d'un réel est égal à 0 modulo pi

edit : j'ai l'impression que tu t'es trompé en mettant -cos(theta)+isin(theta) sous forme exponentielle, et j'ai aussi l'impression que tu n'as pas vu la simplification possible de ton deuxième facteur

[invite05d90db7]

Je ne comprends pas très bien...
Ma forme exponentielle est z= e^(i0) - e^(iϴ), je ne vois pas où est mon erreur.
Pour ce qui est de la factorisation, j'aboutit pour le deuxième facteur à -2isin(ϴ/2), c'est d'ailleurs comme ça que j'ai trouvé le module.
Si je suis ton conseil j'obtiens alors que arg(z)=arg (e^(iϴ/2) + arg (-2) + arg (i) + arg (sin(ϴ/2))
soit arg(z)= (ϴ/2)+0+(π/2)+(π/2), soit arg(z)=π+(ϴ/2) ?
Exact? Ou me suis-je trompé sinon?

[Hamb]

ton problème vient de ta mise sous forme exponentielle, en effet :
n'est pas égal à

[invite05d90db7]

Soit ϴ Є ]0;π[ et z = 1 - cosϴ + isinϴ. Comment calculer lzl et arg z ?

Je suis d'accord, mais l'énoncé n'indique pas cosϴ - isinϴ, donc on a bien z= 1 - e^(iϴ)
non?

[invite05d90db7]

Oops...
Aah oui exact, je viens de m'en rendre compte en me relisant mais effectivement c'est une grosse erreur...
Mais comment faire alors pour obtenir une forme exponentielle?
Je ne crois pas non plus que utiliser cos²+sin²=1 puisse aboutir à quelque chose...
Décidément cet exercice me pose beaucoup de problèmes...

[Hamb]

donc
Ce qui n'est à l'évidence pas forcément égal à 0.
Donc est bien différent de z

edit : on s'est telescopé, donc pour mettre sous forme exponentielle, utilise les formules de trigo pour transformer et en cosinus et sinus d'un meme angle.

[invite05d90db7]

J'obtiens alors:
z = 1 - cosϴ + isinϴ
ssi z= 1 + cos (π-ϴ) + i sin (π-ϴ)
ssi z= e^(i0) + e^(i(π-ϴ))
Après factorisation et simplification, je trouve:
z= e^(i(π-ϴ)/2) x 2sin(ϴ/2)

Je retombe ainsi sur le module que j'avais trouvé avant (normal d'ailleurs, si l'on considère que c'était uniquement une erreur de signe que le passage au module annule), soit lzl=2sin(ϴ/2) et en argument arg(z)=(π-ϴ)/2
Correct cette fois ci?
En tout cas merci pour ton aide!

[Hamb]

c'est cela meme ^^

[invite05d90db7]

Bonjour,
Voilà j'ai une nouvelle question sur les complexes, donc je me permets de poster dans le même topic.
On me demande de prouver que le point C, d'affixe 1-2i, est l'image du point A, d'affixe 1+2i, par la rotation de centre B, d'affixe 1 + "racine de 3" + i, et d'angle π/2.
Or en appliquant la "formule" de rotation j'ai:
d'une part z(c)-z(b)= -3i - "racine de 3"
d'autre part e^(iπ/2)(z(a) - z(b)) = -1 - "racine de 3"i

Par conséquent, l'égalité n'est pas respecté et j'en conclus que la rotation n'existe pas, ce qui est en contradiction avec mon énoncé...
Ainsi, est-ce moi qui me suis trompé où bien l'énoncé?

[invite05d90db7]

pas d'idées?