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Petit exercice sur les complexes



  1. #1
    uoscip

    Petit exercice sur les complexes


    ------

    Bonjour,

    Voilà je bloque sur un exercice, probablement pas très difficile, sur les complexes, mais j'ai beau y faire je ne trouve pas le bon raisonnement.

    Soit ϴ Є ]0;π[ et z = 1 - cosϴ + isinϴ. Comment calculer lzl et arg z ?

    Merci de votre aide, car j'avoue vraiment tourner en rond...

    -----

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  4. #2
    mic_21

    Re : petit exercice sur les complexes

    module de z : racine de : (la partie imaginaire au carré)²+(la partie réelle)²

  5. #3
    Hamb

    Re : petit exercice sur les complexes

    une autre méthode :
    Tu peux mettre ton z sous la forme où alpha dépend de theta (donc est connu) assez facilement.
    Ensuite si tu mets en facteur tu obtiens une quantité du type avec a réel.
    Ensuite en utilisant le fait que le module d'un produit est le produit des modules, et que l'argument d'un produit est la somme des arguments, tu trouves le module et l'argument de z aisément.

  6. #4
    uoscip

    Re : petit exercice sur les complexes

    Merci, il fallait effectivement mettre sous forme exponentielle et factoriser par e^(iϴ/2), tel que
    z=e^(iϴ/2)(e^(-iϴ/2) - e^(iϴ/2)).
    On trouve alors un module lzl=2sin(ϴ/2) (si je ne me suis pas trompé en tout cas). Par contre j'ai plus de mal avec l'argument. Je n'arrive pas à trouver l'argument du deuxième membre... une idée?
    Merci

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  8. #5
    Hamb

    Re : petit exercice sur les complexes

    tout dépend de ce qu'est ton deuxième membre ^^
    En tout cas pense bien que l'argument d'un réel est égal à 0 modulo pi

    edit : j'ai l'impression que tu t'es trompé en mettant -cos(theta)+isin(theta) sous forme exponentielle, et j'ai aussi l'impression que tu n'as pas vu la simplification possible de ton deuxième facteur
    Dernière modification par Hamb ; 09/12/2007 à 13h00.

  9. #6
    uoscip

    Re : petit exercice sur les complexes

    Je ne comprends pas très bien...
    Ma forme exponentielle est z= e^(i0) - e^(iϴ), je ne vois pas où est mon erreur.
    Pour ce qui est de la factorisation, j'aboutit pour le deuxième facteur à -2isin(ϴ/2), c'est d'ailleurs comme ça que j'ai trouvé le module.
    Si je suis ton conseil j'obtiens alors que arg(z)=arg (e^(iϴ/2) + arg (-2) + arg (i) + arg (sin(ϴ/2))
    soit arg(z)= (ϴ/2)+0+(π/2)+(π/2), soit arg(z)=π+(ϴ/2) ?
    Exact? Ou me suis-je trompé sinon?

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  11. #7
    Hamb

    Re : petit exercice sur les complexes

    ton problème vient de ta mise sous forme exponentielle, en effet :
    n'est pas égal à

  12. #8
    uoscip

    Re : petit exercice sur les complexes

    Citation Envoyé par uoscip Voir le message

    Soit ϴ Є ]0;π[ et z = 1 - cosϴ + isinϴ. Comment calculer lzl et arg z ?
    Je suis d'accord, mais l'énoncé n'indique pas cosϴ - isinϴ, donc on a bien z= 1 - e^(iϴ)
    non?

  13. #9
    uoscip

    Re : petit exercice sur les complexes

    Oops...
    Aah oui exact, je viens de m'en rendre compte en me relisant mais effectivement c'est une grosse erreur...
    Mais comment faire alors pour obtenir une forme exponentielle?
    Je ne crois pas non plus que utiliser cos²+sin²=1 puisse aboutir à quelque chose...
    Décidément cet exercice me pose beaucoup de problèmes...

  14. #10
    Hamb

    Re : petit exercice sur les complexes


    donc
    Ce qui n'est à l'évidence pas forcément égal à 0.
    Donc est bien différent de z

    edit : on s'est telescopé, donc pour mettre sous forme exponentielle, utilise les formules de trigo pour transformer et en cosinus et sinus d'un meme angle.

  15. #11
    uoscip

    Re : petit exercice sur les complexes

    J'obtiens alors:
    z = 1 - cosϴ + isinϴ
    ssi z= 1 + cos (π-ϴ) + i sin (π-ϴ)
    ssi z= e^(i0) + e^(i(π-ϴ))
    Après factorisation et simplification, je trouve:
    z= e^(i(π-ϴ)/2) x 2sin(ϴ/2)

    Je retombe ainsi sur le module que j'avais trouvé avant (normal d'ailleurs, si l'on considère que c'était uniquement une erreur de signe que le passage au module annule), soit lzl=2sin(ϴ/2) et en argument arg(z)=(π-ϴ)/2
    Correct cette fois ci?
    En tout cas merci pour ton aide!

  16. #12
    Hamb

    Re : petit exercice sur les complexes

    c'est cela meme ^^

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  18. #13
    uoscip

    Re : petit exercice sur les complexes

    Bonjour,
    Voilà j'ai une nouvelle question sur les complexes, donc je me permets de poster dans le même topic.
    On me demande de prouver que le point C, d'affixe 1-2i, est l'image du point A, d'affixe 1+2i, par la rotation de centre B, d'affixe 1 + "racine de 3" + i, et d'angle π/2.
    Or en appliquant la "formule" de rotation j'ai:
    d'une part z(c)-z(b)= -3i - "racine de 3"
    d'autre part e^(iπ/2)(z(a) - z(b)) = -1 - "racine de 3"i

    Par conséquent, l'égalité n'est pas respecté et j'en conclus que la rotation n'existe pas, ce qui est en contradiction avec mon énoncé...
    Ainsi, est-ce moi qui me suis trompé où bien l'énoncé?

  19. #14
    uoscip

    Re : petit exercice sur les complexes

    pas d'idées?

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