Un carré qui tourne pas très rond

[invitea3eb043e]

b'jour à tous
Un problème "trivial" qui résulte d'un problème dans un Monde récent.
Quand on fait le produit n*(n+1)*(n+2)*(n+3) et qu'on ajoute 1, on trouve toujours un carré parfait si n est entier.
Effectivement, on peut voir que si on développe, on trouve :
n^4 + 6 n^3 + 11 n^2 + 6 n + 1, qui est le carré de :
n² + 3 n + 1
Mais alors, j'ai 2 questions :
1) Y a-t-il une subtile raison pour que ce produit + 1 soit un carré parfait ?
2) Quand on regarde un polynôme, à quoi peut-on deviner qu'il est le carré d'un autre polynôme ?

Aucune idée de la réponse...
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[invite8f53295a]

Je peux répondre à la deuxième question : comme avec les entiers. Si tu as un entier, la meilleure façon de voir si c'est un carré est de le décomposer en produit d efacteurs premiers et de regarder si les exposants sont pairs.
Pour les polynômes c'est pareil (sur un anneau factoriel, Z par exemple), on dit que l'anneau des polynômes est factoriel : on peut décomposer tout polynôme en prduit de polynômes irréductibles. Bien sûr la tâche sera plus ou moins compliquée selon la nature que tu imposes aux coefficients. Par exemple sur Z[X], déterminer si un polynôme est irréductible peut être assez lourd (même si on a des algorithmes pours ça). Une petite conséquence amusante : dans R[X] un polynôme est un carré si et seulement si il est à valeurs positives sur R.

[invite48af87b5]

Une petite conséquence amusante : dans R[X] un polynôme est un carré si et seulement si il est à valeurs positives sur R.

Contre exemple : P=X^2+1

[invite8f53295a]

Ah effectivement j'ai dit une belle connerie

J'ai confondu avec le résultat qui dit qu'un polynôme réel est positif si et seulement si il est somme de deux carrés...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite48af87b5]

Attention : le message qui suit ne contient aucune information...

1) Y a-t-il une subtile raison pour que ce produit + 1 soit un carré parfait ?

J'ai beau chercher (chu content de l'avoir placé suilà), je ne trouve pas.
Je n'arrive pas non plus à généraliser.

[invite4793db90]

Salut,

pour faire avancer le scmilblick, même si ce n'est pas terrible: si un polynôme (disons dans C, algébriquement clos) admet des racines toutes d'ordre pair alors c'est un carré.

A partir des coefficients, ça me semble difficile... en tout cas pour moi!

[invite4793db90]

A partir de l'égalité



on peut quand même dire que si le coefficient d'un monôme de degré impair est impair, alors ce n'est pas un carré (en supposant l'anneau de base commutatif).

En effet:
.

[invite4793db90]

Ainsi, on peut voir que





ou

ne sont pas des carrés. Ainsi et pour tenter une réponse à la question 1), j'aurais tendance à penser que le cas n(n+1)(n+2)(n+3) est exceptionnel.

Bonne nuit!

[invitea12667f3]

1) Y a-t-il une subtile raison pour que ce produit + 1 soit un carré parfait ?

Hey lo!

eh bien ma foi c'est très simple ça!no?
Si on développe ,on obtient
.
Pour démontrer que c'est un carré parfait,il faut démontrer que ce polynome est le carré d'un autre polynome a coefficients entiers et n étant un entier,le polynome sera forcément un entier pour toute valeur de n.Ainsi on doit obtenir de ce polynome qu'il soit égal à un entier,k,au carré.
Soit,

Rien de tel qu'une bonne vieille identification pour savoir si c'est un carré de polynome!
On doit avoir:

en développant on obtient un systeme qui va nous permettre de trouver les coefficients a,b et c.
On obtient :



on a alors
,soit un entier!dc f est le carré d'un entier :il est parfait pour toutes valeurs de n...
CQFD

[invitea3eb043e]

OK, ce calcul est juste, la réponse était d'ailleurs dans l'énoncé. On peut en effet voir tout de suite que le polynôme racine est de la forme n² + a n +1 et trouver a par le 2ème terme. Pas de problème.
Mais la vraie question est : quand on regarde un polynôme, peut-on, sans faire cette identification, voir si c'est le carré d'un polynome ? Sinon, c'est fastidieux, non ?

[invitea12667f3]

j'ai trouvé ceci,une discussion sur les carrés de polynomes,où je pense que tu trouveras la réponse a ta question!
http://www.forum.math.ulg.ac.be/view...c9a99&id=27868
C'est en effet assez fastidieux!...

Il ya cependant certaines conditions "évidentes" que doivent remplir un polynome P tel que P=Q².
Il doit évidemment etre positif pour toutes valeurs de x:
et dans le corps des entiers,ce polynome donne un carré parfait pour tout x entier.

[invitee05be71a]

Il ya cependant certaines conditions "évidentes" que doivent remplir un polynome P tel que P=Q².

Il faut également que le degré et la valuation de P soient pairs.