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Un carré qui tourne pas très rond



  1. #1
    Jeanpaul

    Un carré qui tourne pas très rond


    ------

    b'jour à tous
    Un problème "trivial" qui résulte d'un problème dans un Monde récent.
    Quand on fait le produit n*(n+1)*(n+2)*(n+3) et qu'on ajoute 1, on trouve toujours un carré parfait si n est entier.
    Effectivement, on peut voir que si on développe, on trouve :
    n^4 + 6 n^3 + 11 n^2 + 6 n + 1, qui est le carré de :
    n² + 3 n + 1
    Mais alors, j'ai 2 questions :
    1) Y a-t-il une subtile raison pour que ce produit + 1 soit un carré parfait ?
    2) Quand on regarde un polynôme, à quoi peut-on deviner qu'il est le carré d'un autre polynôme ?

    Aucune idée de la réponse...

    -----

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  3. #2
    BS

    Re : Un carré qui tourne pas très rond

    Je peux répondre à la deuxième question : comme avec les entiers. Si tu as un entier, la meilleure façon de voir si c'est un carré est de le décomposer en produit d efacteurs premiers et de regarder si les exposants sont pairs.
    Pour les polynômes c'est pareil (sur un anneau factoriel, Z par exemple), on dit que l'anneau des polynômes est factoriel : on peut décomposer tout polynôme en prduit de polynômes irréductibles. Bien sûr la tâche sera plus ou moins compliquée selon la nature que tu imposes aux coefficients. Par exemple sur Z[X], déterminer si un polynôme est irréductible peut être assez lourd (même si on a des algorithmes pours ça). Une petite conséquence amusante : dans R[X] un polynôme est un carré si et seulement si il est à valeurs positives sur R.

  4. #3
    hedron

    Re : Un carré qui tourne pas très rond

    Citation Envoyé par BS
    Une petite conséquence amusante : dans R[X] un polynôme est un carré si et seulement si il est à valeurs positives sur R.
    Contre exemple : P=X^2+1

  5. #4
    BS

    Re : Un carré qui tourne pas très rond

    Ah effectivement j'ai dit une belle connerie

    J'ai confondu avec le résultat qui dit qu'un polynôme réel est positif si et seulement si il est somme de deux carrés...

  6. #5
    hedron

    Re : Un carré qui tourne pas très rond

    Attention : le message qui suit ne contient aucune information...
    Citation Envoyé par Jeanpaul
    1) Y a-t-il une subtile raison pour que ce produit + 1 soit un carré parfait ?
    J'ai beau chercher (chu content de l'avoir placé suilà), je ne trouve pas.
    Je n'arrive pas non plus à généraliser.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    martini_bird

    Re : Un carré qui tourne pas très rond

    Salut,

    pour faire avancer le scmilblick, même si ce n'est pas terrible: si un polynôme (disons dans C, algébriquement clos) admet des racines toutes d'ordre pair alors c'est un carré.

    A partir des coefficients, ça me semble difficile... en tout cas pour moi!

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  10. #7
    martini_bird

    Re : Un carré qui tourne pas très rond

    A partir de l'égalité



    on peut quand même dire que si le coefficient d'un monôme de degré impair est impair, alors ce n'est pas un carré (en supposant l'anneau de base commutatif).

    En effet:
    .

  11. #8
    martini_bird

    Re : Un carré qui tourne pas très rond

    Ainsi, on peut voir que





    ou

    ne sont pas des carrés. Ainsi et pour tenter une réponse à la question 1), j'aurais tendance à penser que le cas n(n+1)(n+2)(n+3) est exceptionnel.

    Bonne nuit!

  12. #9
    keke76

    Re : Un carré qui tourne pas très rond

    Citation Envoyé par Jeanpaul
    1) Y a-t-il une subtile raison pour que ce produit + 1 soit un carré parfait ?
    Hey lo!

    eh bien ma foi c'est très simple ça!no?
    Si on développe ,on obtient
    .
    Pour démontrer que c'est un carré parfait,il faut démontrer que ce polynome est le carré d'un autre polynome a coefficients entiers et n étant un entier,le polynome sera forcément un entier pour toute valeur de n.Ainsi on doit obtenir de ce polynome qu'il soit égal à un entier,k,au carré.
    Soit,

    Rien de tel qu'une bonne vieille identification pour savoir si c'est un carré de polynome!
    On doit avoir:

    en développant on obtient un systeme qui va nous permettre de trouver les coefficients a,b et c.
    On obtient :



    on a alors
    ,soit un entier!dc f est le carré d'un entier :il est parfait pour toutes valeurs de n...
    CQFD

  13. #10
    Jeanpaul

    Re : Un carré qui tourne pas très rond

    OK, ce calcul est juste, la réponse était d'ailleurs dans l'énoncé. On peut en effet voir tout de suite que le polynôme racine est de la forme n² + a n +1 et trouver a par le 2ème terme. Pas de problème.
    Mais la vraie question est : quand on regarde un polynôme, peut-on, sans faire cette identification, voir si c'est le carré d'un polynome ? Sinon, c'est fastidieux, non ?

  14. #11
    keke76

    Re : Un carré qui tourne pas très rond

    j'ai trouvé ceci,une discussion sur les carrés de polynomes,où je pense que tu trouveras la réponse a ta question!
    http://www.forum.math.ulg.ac.be/view...c9a99&id=27868
    C'est en effet assez fastidieux!...

    Il ya cependant certaines conditions "évidentes" que doivent remplir un polynome P tel que P=Q².
    Il doit évidemment etre positif pour toutes valeurs de x:
    et dans le corps des entiers,ce polynome donne un carré parfait pour tout x entier.

  15. #12
    Eti-N

    Re : Un carré qui tourne pas très rond

    Citation Envoyé par keke76
    Il ya cependant certaines conditions "évidentes" que doivent remplir un polynome P tel que P=Q².
    Il faut également que le degré et la valuation de P soient pairs.

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