plongement & clôture intégrale

[invite769a1844]

Bonjour,

après avoir montré que n'est pas intégralement clos,
je dois montrer que se plonge dans .

Merci pour votre aide.
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[invite57a1e779]

Il faut commencer par définir une application de dans par .

Ainsi et on peut définir, par passage au quotient, une application de dans , qui est le plongement voulu, sauf erreur.

[invite769a1844]

Bonsoir gb et bonne année,

merci je n'avais pas pensé à envoyer P(X,Y) sur P(Z,ZW), il reste l'injectivité de à montrer,
ie il faut que je montre que .

J'ai envie de dire que si est un multiple de , c'est un multiple de , car par définition de ,
un est toujours multiplié par un .

Par conséquent ,

mais je ne sais pas si ça sert?

[invitea41c27c1]

Moi je vois les choses de la façon suivante:
,
.
Et donc comme , on a .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

ça me gêne un peu le symbole "racine carrée" utilisé dans le cadre des polynômes à coefficients dans ,
je ne vois pas ce qu'on entend par racine carrée d'un polynôme. Il me semblait que déjà dans il valait mieux pas l'employer.

[invitea41c27c1]

C'est comme quand on parle de , c'est l'ensemble des éléments polynomiaux en un élément dans la clôture algébrique de tel que et c'est isomorphe à l'anneau quotient

Ici on note un élément de la clôture algébrique de tel que . On a alors des isomorphismes




et
La notation racine carré marche très bien si on y est habitué, mais il faut quand même se méfier je te l'accorde.

Par contre avec ce point de vue je n'arrive pas à en déduire une démonstration de l'injectivité de ta fonction...

[invite57a1e779]

L'idée de Garnet est très bonne, mais les calculs ne sont pas vraiment pratiques, parce qu'il considère les deux extensions à partir de l'irrationnel , alors que la deuxième extension peut être décrite sans irrationnel.

Il vaut mieux considérer sous la forme : le polynôme est alors du premier degré par rapport à l'indéterminée et le quotient est immédiat : est isomorphe à , l'isomorphisme étant défini par , dont l'isomorphisme réciproque est où et sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de par , dont il est facile de prouver qu'elle est injective.

Il faut alors utiliser l'application de dans définie par .

[invite769a1844]

Ici on note un élément de la clôture algébrique de tel que . On a alors des isomorphismes

Pour cette première extension donnée par Garnet, j'ai un ptit problème pour établir le parallèle avec ce qu'on faisait dans la théorie des corps.

Dans le cadre de la théorie des corps, on avait l'évaluation en qui nous fournissait un isomorphisme .

Dans notre cas on a l'anneau , et on aurait un isomorphisme donnée par ,
je ne comprends pas ce changement par rapport au résultat similaire qu'on trouve dans la théorie des corps,
pourquoi prend-on dans le cadre des anneaux au lieu de ?

[invitea41c27c1]

Parce que annule (et non pas , il n'y a rien qui change !).

Et annule .

[invite769a1844]

merci, j'ai encore une toute petite question:

si j'ai bien saisi on a un résultat analogue à celui des corps qui nous dit que pour un anneau A et un élément de (cloture algébrique de A ou intégrale?),
on a l'isomorphisme fourni par l'évaluation en :



où P serait une sorte de polynôme minimal de sur une extension d'anneau de A?

je n'ai pas trouvé de tels résultat dans la littérature.