petite équation trigonométrique

[leon1789]

Bonsoir

Soit deux réels compris entre et .

Quelqu'un a-t-il une idée pour démontrer l'implication suivante ?



Merci
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[sadben2004]

Tu as essayé cela ?
sin(x+2y) = sin(y+x) cos(y) + cos(y+x) sin(y)
sin(y+2x) = sin(y+x) cos(x) + cos(y+x) sin(x)

(pas sur que ca marche)

[leon1789]

Je n'arrive à rien...

Sous forme trigonométrique polynomiale, cela donne après une toute petite simplification




comment montrer que x=y ?

[leon1789]

Ou encore, une forme linéarisée de l'équation

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Je crois que x=0 et y = pi/2 est un contre-exemple.

[leon1789]

Oui, c'est exact, j'ai oublié le mot "strictement" :
x et y sont compris strictement entre 0 et pi/2.

[Jeanpaul]

Ou encore, une forme linéarisée de l'équation

Ce sont des - et pas des +.
a part cela, si on fait passer les cosinus d'un côté à l'autre et qu'on regroupe on obtient quelque chose d'assez simple en faisant intervenir u = (x+y)/2 et v = (x-y)/2, ce qui est logique car x et y jouent le même rôle.
On trouve alors : sin(5u)/sin(u) = - sin(3v)/sin(v) où u varie entre 0 et pi/2 et v aussi (on suppose x>=y)

Il est intéressant de tracer les courbes de sin(5x)/sin(x) et -sin(3x)/sin(x), on voit qu'elles ont des images à très faibles recoupements (u entre pi/4 et pi/3) mais je n'ai pas encore réussi à mettre cela au propre. Plus le temps ce soir...

[leon1789]

Ce sont des - et pas des +.

oui, mais j'ai échangé les cosinus de coté pour avoir uniquement des + (positive attitude ). C'est pas forcément justifié.

a part cela, si on fait passer les cosinus d'un côté à l'autre et qu'on regroupe on obtient quelque chose d'assez simple en faisant intervenir u = (x+y)/2 et v = (x-y)/2, ce qui est logique car x et y jouent le même rôle.
On trouve alors : sin(5u)/sin(u) = - sin(3v)/sin(v) où u varie entre 0 et pi/2 et v aussi (on suppose x>=y)

ha oui !!!
Maintenant que les variables sont séparées, ça doit être plus facile.

Sans quotient, ça donne sin(5u) sin(v) + sin(3v) sin(u) = 0.

Maintenant on travaille avec 0 < u < pi/2 et 0 <= v < pi/2
et on veut montrer que v = 0 .

Merci de votre aide.

[leon1789]

En fait, on a

sin(5u) sin(v) + sin(3v) sin(u) = 0

avec précisément 0 <= v < u < pi/2 et u+v < pi/2 aussi !

[Jeanpaul]

Mais ce n'est pas dans la poche pour autant, je ne vois qu'un truc très compliqué de développement autour de la solution x=0 et y pi/2

[breukin]

En partant de sin(5u).sin(v)+sin(3v).sin(u)= 0, et en développant sin(5u) et sin(3v), on arrive à :
sin(u).sin(v).(8–20.sin²u+16.sin⁴u–4.sin²v)=0
Comme sin(u)>0, on a soit la solution triviale sin(v)=0 (x=y), soit 4.sin⁴u–5.sin²u+2=sin²v

or sin²u=(1–cos(2u))/2= (1–cos(x+y))/2 et sin²v=(1–cos(2v))/2= (1–cos(x–y))/2

Donc 2.(1–cos(x+y))²–5.(1–cos(x+y))+4=1–cos(x–y), soit 2.cos²(x+y)+cos(x+y)=cos(x–y)

Ca devrait commencer à être plus facile...

[God's Breath]

En partant de sin(5u).sin(v)+sin(3v).sin(u)= 0, ... on a soit la solution triviale sin(v)=0 (x=y), soit 4.sin⁴u–5.sin²u+2=sin²v

Si , alors et .

On obtient la solution non triviale et .

[breukin]

Oui, mais x>pi/2

[Jeanpaul]

Voilà qui pourrait être une solution et désolé à l'avance pour tous les changements de variable.
Si on pose u = (x+y)/2 et v=(x-y)/2 on arrive par bidouillage à
sin(5u)/sin(u) = - sin(3v)/sin(v)
en se limitant à 0<u<pi/2 et 0<=v<pi/2
et là il est intéressant de tracer les fonctions sin(5u)/sin(u) et -sin(3v)/sin(v). On voit que ces fonctions n'ont pas une grande image commune, juste u entre pi/4 et pi/3 et v un peu inférieur à pi/4
Si on élimine la solution triviale v=0, on peut développer les sin(3v) et sin(5u) par Moivre et ça donne 4 (sin(u)^4) - 5 sin²(u) = sin²(v)-2 ou encore
2 cos²(2u) + cos(2u) = - cos(2v)
u varie entre pi/4 et pi/3 dans la zone intéressante et v entre pi/8 et pi/4
On pose alors u = pi/4 + p et v = pi/4 - q et il vient :
-2 sin²(2p) + sin(2p) = sin(2q)
et là c'est fini parce que q est donc inférieur à p, vu les zones de variation donc u+v=x sera supérieur à pi/2
Ouf !

[breukin]

On y était presque sans examen graphique :

Puisque 2.cos²(x+y)+cos(x+y)+cos(x–y)=0 (j'avais fait une erreur de signe), on a : cos²(x+y)+cos(x).cos(y)=0

Or dans [0,pi/2], cos(x)>=0 et cos(y)>=0.
Pour que la somme soit nulle, il faut que les deux termes positifs soient nuls.
Donc soit cos(x)=0, donc x=pi/2 et alors sin(y)=0, donc y=0,
ou soit y=pi/2 et x=0.
Donc pas de solution dans ]0,pi/2[

[Jeanpaul]

Bonne approche en effet qui a l'avantage de mettre en évidence les rôles symétriques joués par x et y. C'est évidemment la même équation-clé que celle que je proposais avec u et v.
Très inhabituel comme exo qui trouve 2 inconnues avec 1 équation.