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petite équation trigonométrique



  1. #1
    leon1789

    petite équation trigonométrique


    ------

    Bonsoir

    Soit deux réels compris entre et .

    Quelqu'un a-t-il une idée pour démontrer l'implication suivante ?



    Merci

    -----

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  3. #2
    sadben2004

    Re : petite équation trigonométrique

    Tu as essayé cela ?
    sin(x+2y) = sin(y+x) cos(y) + cos(y+x) sin(y)
    sin(y+2x) = sin(y+x) cos(x) + cos(y+x) sin(x)

    (pas sur que ca marche)
    Science sans consience n'est que ruine de l'âme

  4. #3
    leon1789

    Re : petite équation trigonométrique

    Je n'arrive à rien...

    Sous forme trigonométrique polynomiale, cela donne après une toute petite simplification




    comment montrer que x=y ?

  5. #4
    leon1789

    Re : petite équation trigonométrique

    Ou encore, une forme linéarisée de l'équation


  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Jeanpaul

    Re : petite équation trigonométrique

    Je crois que x=0 et y = pi/2 est un contre-exemple.

  8. #6
    leon1789

    Re : petite équation trigonométrique

    Oui, c'est exact, j'ai oublié le mot "strictement" :
    x et y sont compris strictement entre 0 et pi/2.

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  10. #7
    Jeanpaul

    Re : petite équation trigonométrique

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    Ou encore, une forme linéarisée de l'équation

    Ce sont des - et pas des +.
    a part cela, si on fait passer les cosinus d'un côté à l'autre et qu'on regroupe on obtient quelque chose d'assez simple en faisant intervenir u = (x+y)/2 et v = (x-y)/2, ce qui est logique car x et y jouent le même rôle.
    On trouve alors : sin(5u)/sin(u) = - sin(3v)/sin(v) où u varie entre 0 et pi/2 et v aussi (on suppose x>=y)

    Il est intéressant de tracer les courbes de sin(5x)/sin(x) et -sin(3x)/sin(x), on voit qu'elles ont des images à très faibles recoupements (u entre pi/4 et pi/3) mais je n'ai pas encore réussi à mettre cela au propre. Plus le temps ce soir...

  11. #8
    leon1789

    Re : petite équation trigonométrique

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    Ce sont des - et pas des +.
    oui, mais j'ai échangé les cosinus de coté pour avoir uniquement des + (positive attitude ). C'est pas forcément justifié.

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    a part cela, si on fait passer les cosinus d'un côté à l'autre et qu'on regroupe on obtient quelque chose d'assez simple en faisant intervenir u = (x+y)/2 et v = (x-y)/2, ce qui est logique car x et y jouent le même rôle.
    On trouve alors : sin(5u)/sin(u) = - sin(3v)/sin(v) où u varie entre 0 et pi/2 et v aussi (on suppose x>=y)
    ha oui !!!
    Maintenant que les variables sont séparées, ça doit être plus facile.

    Sans quotient, ça donne sin(5u) sin(v) + sin(3v) sin(u) = 0.

    Maintenant on travaille avec 0 < u < pi/2 et 0 <= v < pi/2
    et on veut montrer que v = 0 .

    Merci de votre aide.

  12. #9
    leon1789

    Re : petite équation trigonométrique

    En fait, on a

    sin(5u) sin(v) + sin(3v) sin(u) = 0

    avec précisément 0 <= v < u < pi/2 et u+v < pi/2 aussi !

  13. #10
    Jeanpaul

    Re : petite équation trigonométrique

    Mais ce n'est pas dans la poche pour autant, je ne vois qu'un truc très compliqué de développement autour de la solution x=0 et y pi/2

  14. #11
    breukin

    Re : petite équation trigonométrique

    En partant de sin(5u).sin(v)+sin(3v).sin(u)= 0, et en développant sin(5u) et sin(3v), on arrive à :
    sin(u).sin(v).(8–20.sin2u+16.sin4u–4.sin2v)=0
    Comme sin(u)>0, on a soit la solution triviale sin(v)=0 (x=y), soit 4.sin4u–5.sin2u+2=sin2v

    or sin2u=(1–cos(2u))/2= (1–cos(x+y))/2 et sin2v=(1–cos(2v))/2= (1–cos(x–y))/2

    Donc 2.(1–cos(x+y))2–5.(1–cos(x+y))+4=1–cos(x–y), soit 2.cos2(x+y)+cos(x+y)=cos(x–y)

    Ca devrait commencer à être plus facile...

  15. #12
    God's Breath

    Re : petite équation trigonométrique

    Citation Envoyé par breukin Voir le message
    En partant de sin(5u).sin(v)+sin(3v).sin(u)= 0, ... on a soit la solution triviale sin(v)=0 (x=y), soit 4.sin4u–5.sin2u+2=sin2v
    Si , alors et .

    On obtient la solution non triviale et .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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  17. #13
    breukin

    Re : petite équation trigonométrique

    Oui, mais x>pi/2

  18. #14
    Jeanpaul

    Re : petite équation trigonométrique

    Voilà qui pourrait être une solution et désolé à l'avance pour tous les changements de variable.
    Si on pose u = (x+y)/2 et v=(x-y)/2 on arrive par bidouillage à
    sin(5u)/sin(u) = - sin(3v)/sin(v)
    en se limitant à 0<u<pi/2 et 0<=v<pi/2
    et là il est intéressant de tracer les fonctions sin(5u)/sin(u) et -sin(3v)/sin(v). On voit que ces fonctions n'ont pas une grande image commune, juste u entre pi/4 et pi/3 et v un peu inférieur à pi/4
    Si on élimine la solution triviale v=0, on peut développer les sin(3v) et sin(5u) par Moivre et ça donne 4 (sin(u)^4) - 5 sin²(u) = sin²(v)-2 ou encore
    2 cos²(2u) + cos(2u) = - cos(2v)
    u varie entre pi/4 et pi/3 dans la zone intéressante et v entre pi/8 et pi/4
    On pose alors u = pi/4 + p et v = pi/4 - q et il vient :
    -2 sin²(2p) + sin(2p) = sin(2q)
    et là c'est fini parce que q est donc inférieur à p, vu les zones de variation donc u+v=x sera supérieur à pi/2
    Ouf !

  19. #15
    breukin

    Re : petite équation trigonométrique

    On y était presque sans examen graphique :

    Puisque 2.cos2(x+y)+cos(x+y)+cos(x–y)=0 (j'avais fait une erreur de signe), on a : cos2(x+y)+cos(x).cos(y)=0

    Or dans [0,pi/2], cos(x)>=0 et cos(y)>=0.
    Pour que la somme soit nulle, il faut que les deux termes positifs soient nuls.
    Donc soit cos(x)=0, donc x=pi/2 et alors sin(y)=0, donc y=0,
    ou soit y=pi/2 et x=0.
    Donc pas de solution dans ]0,pi/2[

  20. #16
    Jeanpaul

    Re : petite équation trigonométrique

    Bonne approche en effet qui a l'avantage de mettre en évidence les rôles symétriques joués par x et y. C'est évidemment la même équation-clé que celle que je proposais avec u et v.
    Très inhabituel comme exo qui trouve 2 inconnues avec 1 équation.

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