Produit de convolution : besoin d'aide

[invite19ef47a2]

Bonjour à toutes et tous.

Je suis actuellement en étude en Angleterre en Master of Science, et j'ai un module traitant de la DSP (traitement du signal). Nous avons un travail à rendre prochainement avec comme exo un produit de convolution, dont l'énoncé est le suivante :

x(n)=u(n)-u(n-5)
h(n)=u(n-2)-u(n-8)+u(n-11)-u(n-17)

J'ai vu que la convolution était distributive, donc que :
x(n)*h(n)=u(n)*u(n-2) - u(n)*u(n-8) + u(n)*u(n-11) ... etc (8 produits au total).

Mais j'ai un autre souci. Le prof nous a passé un tableau avec les principales convolutions, mais je n'ai pas le même résultat que celui trouvé à 2 endroits sur le net :
Mon prof : u(k)*u(k)=(k+1)u(k)
Internet : u(t)*u(t)=t.u(t)
Ce qui n'est pas la même chose ...

Donc d'une part, laquelle est juste, et d'autre part, comment faire avec mes produits où j'ai un retard du genre u(k)*u(k-n) ?

Je vous remercie d'avance pour vos réponses !
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[acx01b]

ici il s'agit de convolution discrète

l'échelon unité vaut 1 si n >= 0, 0 sinon

donc u*u[n] =

ce qui vaut si n >= 0,
et 0 si n < 0
donc

il te reste à appliquer la même chose à l'échelon retardé !

[acx01b]

tu peux aussi le faire d'une manière générale:

exprimer en fonction de

[invite19ef47a2]

Une personne m'a dit de décomposer les différents produits de la sorte :

u(n)*u(n-2)=u(n)*u(n)*d(n-2) (avec d = dirac, fonction identité de la convolution).
Du coup, on peut factoriser tout le développement :

x(n)*h(n)=[u(n)*u(n)]*[d(n-2)-d(n-8)+d(n-11)-...]
Est-ce exact ?
Que faire après ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[acx01b]

c'est tout autant exact que ce que je t'ai mis, puisque c'est en fait la même chose

- introduire la convolution avec un dirac
- appliquer la distributivité du produit de convolution
- eliminer la convolution avec le dirac

[invite19ef47a2]

Hum, désolé J'avais pas trop trop compris ce que tu m'avais dit en fait.

Mais du coup, comment je fais avec toutes additions de dirac, j'en fais quoi ? Et après pour le multiplier avec le u(n)*u(n) ? Parce que je ne connais ça que depuis le 2e semestre depuis l'année dernière, et encore on en a juste évoqué le nom, et je sais pas du tout comment ça marche.

[acx01b]

en fait ce n'est pas un dirac (impulsion continue), mais une impulsion discrète:
d[0] = 1, d[n] = 0 si n différent de 0

il est donc facile de vérifier que

je te rappelle la formule du produit de convolution discrète:


ensuite on peut simplifier la notation, on écrira
pour ou pour
car
si bien que au final qui est la formule qui t'intéresse

[invite19ef47a2]

Merci beaucoup pour toutes ces réponses !!!

Donc si j'ai bien compris ce que tu as mis, par rapport à ta dernière ligne, je peux simplifier la convolutions suivantes :
d(n-2)*d(n-8)=d(n-2-8)=d(n-10)
Est-ce exact ?

Du coup j'arrive au final à la chose suivante (en ayant simplifier u(n)*u(n) par (n+1)u(n)) :

(n+1)u(n)*[d(n-2)-d(n-8)+d(n-11)-d(n-17)-d(n-7)+d(n-13)-d(n-16)+d(n-22)]
Mais est-ce que je peux faire quelque chose encore après ? Je m'excuse, j'ai vraiment du mal avec ça.

[acx01b]

pour tout signal s,
s[n]*d[n-a] = (...)