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Inclusion et théorème de Stokes



  1. #1
    Quinto

    Inclusion et théorème de Stokes


    ------

    Salut,
    j'ai une petite question bebete à propos de ce théorème.

    Soit w une forme différentielle sur une variété à bord M, de frontière fr(M).
    alors
    int(dw) sur M = int(i*w) sur fr(M)
    où i est l'inclusion de fr(M) dans M.

    En fait, je me demande ce qu'est cette inclusion.
    On la retrouve dans le livre de Do Carmo.

    J'ai l'impression que c'est la surjection canonique:
    x->x de M dans sa frontière.

    Ca me serait très utile.
    Merci de confirmer, ou d'infirmer mon hypothèse.
    A+

    -----

  2. #2
    Sylvestre

    Re : Inclusion et théorème de Stokes

    Salut,

    en fait i est l'application de fr(M) vers M qui à tout x de fr(M) fait correspondre le même x de M. C'est l'inclusion.

    Il n'y a pas de surjection canonique de M vers fr(M). Si tu n'en est pas sûr essaie de voir qu'est-ce que pourrait être une cette surjection lorsque M est un intervalle de R.

    Sylvestre

  3. #3
    Quinto

    Re : Inclusion et théorème de Stokes

    Salut, oui excuse moi, justement j'ai un long procédé de questions pour arriver dans mon devoir, à montrer qu'une telle application Cinfini n'existe pas.

    Merci de ta réponse, c'est bien ce que je pensais...
    Dans certaines références, on a même pas le pull back par cette application dans l'énoncé du théorème...
    Merci

  4. #4
    Quinto

    Re : Inclusion et théorème de Stokes

    Salut,
    si on continue un peu dans ce théorème.
    Quand on regarde la définition de l'intégrale sur une variété, il n'est jamais réellement précisé quelle intégrale on prend.
    Ainsi, est ce que le théorème de Stokes est encore valide si on prend:

    -pour l'intégrale, une mesure m quelconque.
    -pour définition de dw, la dérivée de Radon-Nikodym par rapport à la mesure m.

    Un exemple vraiment stupide:

    Soit m la mesure de comptage sur R. Soit f une fonction.
    on pose w=f(x)dm
    La dérivée de f est f(x+1)-f(x).
    L'intégrale de f(x)dm est
    somme des f(x+1)-f(x), pour x variant de 0 à k.
    =f(k+1)-f(0)

    Et si je ne m'abuse c'est justement le théorème de Stokes (ou plus simplement un de ses corollaires, le théorème fondamentale du calcul)

    Ainsi, peut on généraliser le théorème de Stokes à toute mesure m?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Sylvestre

    Re : Inclusion et théorème de Stokes

    Salut,

    Cela a l'air très intéressant, mais je n'y ai jamais réfléchi pour une mesure quelconque. A mon avis, on doit pouvoir redéfinir tout cela dans la théorie des distributions. Dans le cas de la mesure de comptage sur N, on a m=delta_0+delta_1+...
    Et on obtient alors que l'intégrale de f(x)dm entre a et b est la somme sur tous les entiers n entre a et b de f(n).
    Donc, je dirais qu'à première vue on doit pouvoir généraliser le théorème de Stokes. Il faudrait chercher un peu dans la théorie des distributions si cela n'est pas déjà fait.

    Sylvestre

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