Inclusion et composition d'involution

[invitea87a1dd7]

Bonjour à tous
Je bloque sur la question 2.b de la troisième partie de ce problème :


J'arrive à montrer la deuxième inclusion simplement, mais la première, je vois pas du tout...
Si quelqu'un pouvait m'aider.

Merci
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[invite5fb20d44]

J'arrive à montrer la deuxième inclusion simplement, mais la première, je vois pas du tout...

En fait ça revient à montrer que , nan ? Faut juste avoir en tête que est une involution.

[invitea87a1dd7]

En fait ça revient à montrer que , nan ? Faut juste avoir en tête que est une involution.

Ouais ok, dans ce cas on doit montrer que :
(qui est clair, non ?)
Puis montrer que :


Mais cela revient à montrer que est de classe 2, et comme c'est une involution, c'est l'identité... (ce qu'on veut montrer justement)
@++

[GuYem]

J'avoue aussi sécher sur cette question ...

Si quelqu'un a une idée !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5fb20d44]

J'avoue aussi sécher sur cette question ...

Si quelqu'un a une idée !

OK, j'ai été un peu rapide.

Voici la démarche :

Pour tout , il existe tel que .

D'après 2.a., avec et .

Montrer que .

Vérifier que .

Conclure.

[invitea87a1dd7]

Merci zpz, c'est vrai que c'était pas si dur, mais fallait bien voir l'utilisation de la question au dessus...

Au fait une autre question, est-ce que la composée de deux involutions est une involution ?
(Moi j'étais parti là dessus, en supposant que v était une involution, et donc en considérant l'espace comme un noyau...(en utilisant la question 1 de la partie 1)..., mais ca ne marchait pas)

[GuYem]

Bien vu zpz. En fait il faut bien voir que, si u est involutive, alors E-(u) est le sous espace propre associé à la valeur propre -1. Sinon on se perd dans des calculs.

Pour ta question Tia (désolé je raccourcis ton nom), la composée de deux involutions n'est pas forcément une involution. A moins qu'elles ne commutent !

[invitea87a1dd7]

Ok, merci Guyem. En fait E-(u) est l'ensemble des points antifixes de u (les points qui sont changés en leurs opposés)...

[invite5fb20d44]

Pour ta question Tia (désolé je raccourcis ton nom), la composée de deux involutions n'est pas forcément une involution. A moins qu'elles ne commutent !

C'est bien vrai. Il y une conséquence qui m'étonne. Si on était dans le cas où u₁ et u₂ commutent (est-ce équivalent à dire qu'ils sont codiagonalisables ?), alors v serait bien une involution.

Or, pour une involution u, E^-(u) et E⁺(u) sont les sous-espaces propres associés aux valeurs propres -1 et 1, puisque
.
(edit : GuYem l'a déjà mentionné plus haut)

Or ces sous-espaces propres ont nécessairement une intersection nulle, ce qui impliquerait que E^-(v)=0. Autrement dit, v serait l'identité (est-ce que je dis une bêtise ?).

Il me semble que deux matrices diagonales commutent toujours, et qu'il n'est pas très difficile de déterminer deux matrices diagonales involutives qui ne soient pas inverse l'une de l'autre.

Conclusion : je me plante quelque part, mais où ?

[invitea87a1dd7]

Sinon pour la question 3.b d'après, c'est à peu près pareil pour montrer que est une involution (on montre que son carré est l'identité), il faut bien utiliser les décompositions sur les espaces.
Par contre, je n'arrive toujours pas à prouver :
Ca semble naturel étant donné tout ce qu'on a montré auparavant, mais impossible de le prouver, ca bloque.
En fait j'essaye de le montrer avec une double inclusion (pour avoir l'égalité)..Est-ce la bonne méthode ?

@++

[invite5fb20d44]

Ca semble naturel étant donné tout ce qu'on a montré auparavant, mais impossible de le prouver, ca bloque.
En fait j'essaye de le montrer avec une double inclusion (pour avoir l'égalité)..Est-ce la bonne méthode ?

Oui :

Inclusion : soit . Que sait-on de ? (rappel : )

Comment agit-il sur A ?

Inclusion :

Si , sachant que , on obtient une relation . Applique à cette égalité, ça devrait permettre de conclure.

[invitea87a1dd7]

Merci encore Zpz,
Pour la première inclusion, c'était ok, je venais de trouver (c'est juste qu'il fallait enchainer toutes les inclusions à la suite pour bien voir)
Pour la deuxième, bah merci du coup de main

@++

ps : sinon pour la 3.c, c'est juste rassembler les questions 2 et 3 pour dire qu'on a montré les deux sens de l'équivalence...

[invite5fb20d44]

Bonne continuation ! Et vive l'algèbre linéaire