dénombrement

[invite56f88dc9]

Bonjour, j'ai des doutes à vous demander sur des questions de dénombrement.

Voici les énoncés:
1) Combien d'anagrammes du mot SYSTEMATIQUE existe-t-il ?

Pour la lettre S il y a 10 possibilités parmi 12, pour Y 11 possiblités parmi 12, pour T 10 possiblités parmi 12, pout E 10 possiblités parmi 12, pour M 10 possiblité parmi 12 et pareil pour T, I, Q et U.

( p une abbréviation de parmi), le résultat est (10 p12)+(11p12)+(10p12)+(10p12)+4 *(10p12)

C'est ça ?

2) Déterminer n entier tel que (n-1) parmi n + (n-2) parmi n +(n-3) parmi n = n²

Aps calcul j'arrive à (n!)*(11/3) =n²

et je vois pas comment arranger ça.


et enfin :
3) Résoudre le système : (y parmi x+1)= (y-1 parmi x) (1ère ligne)
et (2 parmi (x+y))=10

D'après la 1ère ligne j'obtient x=0.
Par contre je ne vois pas comment faire pour la 2ème.

Merci de me corriger et de m'aider.
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[invite97a92052]

Salut,

Pour SYSTEMATIQUE, je pense que ton raisonnement est faux : applique le au mot "PLUS" par exemple, tu obtiens 16 alors que en fait il y en a 4! = 24.

Regardons le nombre d'occurrences

S : 2
Y : 1
T : 2
E : 2
M : 1
A : 1
I : 1
Q : 1
U : 1

Imaginons en premier lieu que toutes les lettres soient différentes, le nombre d'anagrammes serait évidemment 12! (nombre de permutations)
Maintenant, on peut retirer tous les cas qui ont été compté plusieurs fois : 2 pour les S, les T et les E.
Le résultat est .

En fait, dans le cas général pour un mot de n lettres, le résultat est le "coefficient multinomial" des nombres d'ocurrences de chaque lettre (que je note k_i), parmi n, et qui vaut


Ici :

P.S. : en dénombrement, ne te fie JAMAIS à ton intuition...

[invite97a92052]

Pour le 2), utilise la formule et tu devrais trouver un polynôme en n qui admet des solutions entières.

[invite56f88dc9]

Merci pour l'aide. Et pour la 3ème je fais quoi ?

[A voir en vidéo sur Futura]