dénombrement

[invite4ac61d3e]

Salut ,
J'ai un petit problème pour une question d'un exercie :
Une urne U contient 4 jetons blancs et 3 noirs. On tire succesivement les 7 jetons sans remise.
X est la variable aléatoire qui prend pour valeur k si le premier jeton blanc apparait au k-ième tirage.

Donner la loi de probabilité de X.

Déjà, pour commencer, mon tableau possède comme xi: 1,2,3,4 .
P(X=1)=4/7, par contre après , je ne sais pas comment calculer les autres. Je pense qu'il faut utiliser 4*3=12 possiblités pour le 2ème tirage mais je ne sais pas l'exprimer en probabilité.

Merci d'avance de prendre le temps de m'aider.
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[Gwyddon]

Le problème est équiprobable, donc une proba c'est, dans tout le problème, nombre de boules qu'il faut / nombre de boules possibles.

Donc pour P(X=1), c'est bon.

Pour P(X=2), tu es bien parti puisque tu as dénombré toutes les combinaisons favorables. Il te reste à déterminer toutes les combinaisons possibles (tu devrais y arriver facilement ) et à faire le rapport des deux.

Pour la suite, c'est tout pareil.

[invite4ac61d3e]

Le nombre de combinaisons possibles est ? Pour p(X=3), je trouve 4*3*2=24 possibilités, c'est bon ?

[Gwyddon]

Non, quand je dis "le nombre de combinaisons possibles", c'est le nombre total de tirages différents possibles après avoir pris 1, 2, 3 ou 4 boules dans l'urne.

Pour P(X=1), tu l'avais bien écrit au dénominateur, tu as 7 tirages différents possibles.

Avec deux tirages successifs, tu as combien de tirages différents ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

bonjour,
as-tu déjà fait des arbres de probabilités?
Certains apprécient ces méthodes, d'autres n'y comprennent rien (si tu es dans ce cas oublies, du moins temporairement)
On se place au début : deux évènements possibles B1="on tire une boule blanche" N1="on tire une boule noire"
D'où deux branches.
On a P(B1)=4/7 pour la 1ère, P(N1)=3/7 pour la seconde.
Connais-t-on X?
pour l'évènement B1 : oui (on arrête là la 1ère branche, quelque soit les tirages qu'il y aura après X=1)
pour l'évènement N1 : non, on continue.
deux évènements possibles B2/N1="on tire une boule blanche" N2/N1="on tire une boule noire". Le symbole /N1 rappelle que l'on est ici dans le cas où une boule noire a été tirée en premier.
Donc deux sous-branches
Désormais il y a 4 boules blanches (aucune n'a été tirée dans cette branche des possibilités) et 2 boules noires (une a été tirée au 1er coup)
Donc P(B2)=?, P(N2)=?
Connais-t-on X dans le cas B2? dans le cas N2?
Attention : P(X=2) n'est pas égal à P(B2/N1). en effet cette dernière donne la probabilité de tirer une boule blanche après avoir tiré une boule noire au 1er coup. P(X=2)=P(N1).P(B2). Illustrons : un joueur de tennis "réussit une fois sur deux sa 1ère balle de service, trois fois sur quatre sa seconde balle" cela ne signifie pas que sur 8 services il réussit 6 fois sa deuxième balle. Sur 8 services, il réussit 4 fois sa première balle (la moitié de 8) et 4 fois (et seulement 4) il joue une seconde balle. Sur ces 4 seconds services il en réussit trois (3/4) et en loupe une. Total : 4 1ères balles réussies, 3 secondes balles réussies et a raté une fois ses deux services.
Si tu as compris jusqu'ici, le reste devrait être faisable.

Cordialement