Résolution équation non linéaire

[invitee114b958]

Bonjour, je cherche à résoudre cette équation:

-sin(x) + ax = 0

Le but étant de chercher les points d'équilibre du système :

x'' = -sin(x) + ax

Les deux inconnues sont la position et la vitesse (le système est un pendule avec un ressort au bout). Ce qui me donne le système :

x1 = x ==> x1' = x2
x2 = x' ==> x2' = -sin(x) + ax

Ici, 'a' est une constante qui peut prendre n'importe quelle valeur.
A part la solution triviale, je n'arrive pas a trouver d'autres solutions. Or graphiquement, on voit bien qu'il y'en a au moins une 2eme pour 0 < a < 1

La solution doit dépendre de 'a' au final.

J'espère avoir été claire, si quelqu'un a une idée, je le remercie d'avance
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[invitec053041c]

Salut,

Je crains que tu ne trouves d'expression analytique des solutions de sinx=ax, excepté pour des valeurs particulières de a.
(tu peux seulement voir que pour a>1, tu n'auras que la solution nulle)

Cordialement,
François

[invitea3eb043e]

Effectivement, il n'existe pas de solution analytique si a<1. La seule façon de faire est d'approximer une solution, soit a1 et de faire un développement limité de -sin(x) + a x au voisinage de a1. Ca donnera la période des petites oscillations.
Pour aller plus loin, il faut résoudre l'équa diff par des méthodes numériques, genre Runge-Kutta.

[invitee114b958]

Effectivement, il n'existe pas de solution analytique si a<1. La seule façon de faire est d'approximer une solution, soit a1 et de faire un développement limité de -sin(x) + a x au voisinage de a1. Ca donnera la période des petites oscillations.
Pour aller plus loin, il faut résoudre l'équa diff par des méthodes numériques, genre Runge-Kutta.

Bon j'ai trouver une méthode plus ou moins laborieuse pour déterminer le nombre de solutions en fonction de la valeur de a.

Maintenant, a est fixé et égal à 0,1. Si on observe graphiquement, on trouve qu'il y a 7 solutions (dont x = (0,0)). En prenant compte la parité du système, je suis entrain de rechercher les points d'équilibres à valeur positive.

-sinx + 0.1x = 0.

J'ai fait un DL à l'ordre 5, pour esperer avoir 4 solutions. Mais je ne trouve rien:

x(-x^4/120 + x²/6 - 0.9) = 0

La résolution de l'équation d'ordre 4 me donne un discriminant négatif, et je suis sur que c'est pas bon. Mon résonnement est donc sans doute faux. Est ce que tu n'aurais pas une autre idée?

Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Calvert]

Salut !

L'utilisation de la méthode de Newton-Raphson donne de bons résultats (en choisissant bien la valeur initiale). Regarde déjà par là :

Méthode de Newton-Raphson

[invitea3eb043e]

Est ce que tu n'aurais pas une autre idée?

Merci d'avance.

Il y a toutes sortes de méthodes mais avec une calculatrice programmable ou Excel en tâtonnant on doit trouver en moins de 2 minutes.

[invitee114b958]

Salut !

L'utilisation de la méthode de Newton-Raphson donne de bons résultats (en choisissant bien la valeur initiale). Regarde déjà par là :

Méthode de Newton-Raphson

Cette méthode me semble très intéressante et je n'en avais jamais entendu parlé. Cependant, je n'ai pas de points de convergence lorsque j'essaye de trouver mes racines :

f(x) = -sin(x) + 0.1x
f'(x) = -cos(x) + 0.1

La première racine est proche de 2.6 (à l'oeil nue je dirais 2.8).

partant de 2.6 :
x1 = 2.6 - (-sin(2.6) + 0.1*2.6)/(-cos(2.6) + 0.1)
x1 = environ 2.83 (de mémoire)

Ce x1 me plait mais pour suivre la méthode de newton, je continue à chercher des x2,x3 ... pour avoir une approximation le plus correcte possible. Mais en continuant la méthode, mes xi ne convergent pas. Et très rapidement, je dépasse 3,0 puis 3,3.

J'ai essayé avec d'autres racines (proche de 6.5 et 8.45) et même constat. En recherchant sur internet, je n'ai pas vu de contre indication sur la méthode de Newton sur des sinus.

J'ai refait plusieurs fois les calculs, toujours pareil. Pourrais tu (ou n'importe quel autre) faire le calcul autour de 2.6?
Me serai je trompé quelque part?

[invitece2661ac]

Bonjour

il existe differentes methodes pour resoudre ton problème:f(x) = 0

* methodes itiratives programables :
- Methode de Newton citée plus haut.
- prendre deux valeurs a et b arbitraires tel que f(a) <0 et f(b) >0
calculer c = (a + b )/2 calculer f(c) si : f(c) <0 mettre c dans a et si f(c) >0 alors on met c dans b ( a;b et csont des memoires) et ainsi de suite jusqu'a ce qu'on tombe sur la solution.

on peut egalement utiliser une calculatrice permettant de traçer des courbes comme il a etait signale par JeanPaul ( que je salut)

pour ton cas particulier sin(x) = 0,1x
on peut bien tracer la courbe de y1=sin(x) ( connue) et celle de y2= 0,1x
on voit bien que les solutions sont : pour la premiere c'est juste avant Pi la seconde juste apres 2.Pi et ainsi de suite.

[inviteaf1870ed]

En utilisant l'outil "valeur cible" d'Excel tu trouveras facilement tes solutions.

[invitee114b958]

En faite, la méthode Newton-Raphson ne s'applique par à des séquences périodiques (ce qui est mon cas ici) n'y a des racines multiples (le pourquoi du "ça ne marche pas !").

J'ai donc utilisé une autre méthode très efficace pour ce que je recherchait (10^-4 d'erreur) à savoir la méthode des sécances.

En programmant sur MATLAB, ca marche très bien!
Merci pour votre aide,

[Calvert]

En faite, la méthode Newton-Raphson ne s'applique par à des séquences périodiques (ce qui est mon cas ici) n'y a des racines multiples (le pourquoi du "ça ne marche pas !").

J'ai donc utilisé une autre méthode très efficace pour ce que je recherchait (10^-4 d'erreur) à savoir la méthode des sécances.

En programmant sur MATLAB, ca marche très bien!

Si, si, ça marche, à condition de ne pas l'appliquer brutalement. Si cette méthode "tombe" sur une solution, elle a peu de chance d'en sortir et de trouver les autres. Mais en donnant comme condition initiale quelque chose de "raisonnablement" proche d'une solution, elle convergera vers celle-ci.

Cette méthode converge plus vite que la méthode de la sécante (convergence quadratique contre convergence linéaire). Enfin, l'essentiel est que tu aies trouvé les solutions qui t'intéressaient !