Démos coniques et nombres réels

[invite9fd5b80c]

Salut tout le monde!
Je suis en prépa pc et j'ai colle de math demain, malheureusement je ne retrouve plus des démos de cours et je n'ai pas le temps de les chercher sur le net. Est-ce que vous pourriez me répondre le plus rapidement possible avec une démo détaillée?
Voici les énoncés des questions de cours:

1-Montrer que dans un repère tourné d'un angle théta, on peut annuler le terme xy dans l'équation d'une conique Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0.

2-Montrer que A+C et B²-AC sont invariants par rotation du repère.

3-Montrer que tout intervalle ]a;b[ rencontre Q et sont complémentaire.

Merci d'avance.
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[invite3240c37d]

A toi de faire la démo détaillée ...
La rotation d'un angle t équivaut à la transformation :
x = Xcos(t)+Ysin(t) , y= - Xsin(t)+Ycos(t)
Tu remplaces et l'équation devient : a_(t)X²+2b_(t)XY+c_(t)Y²+2d_(t)X+2e_(t)Y+f_(t)=0
En imposant b_(t)=0 tu obtiendras t .
Tu vérifiera que a_(t)+c_(t) et b²_(t)-a_(t)c_(t) sont constants.

Pour la 3ème question c'est immédiat si l'on sait qu'entre deux rationnels il a un irrationnel, qu'entre deux irrationnels il a un rationnel .

[invite7ffe9b6a]

Pour la 3ème question c'est immédiat si l'on sait qu'entre deux rationnels il a un irrationnel, qu'entre deux irrationnels il a un rationnel .

oui mais c'est cela qui faut montrer justement

D'ailleurs c'est plus fort que ce que tu as écrit c'est
entre deux réels distincts, il y a toujours un rationnel
entre deux réels distincts , il y a toujours un irrationnel.


En d'autre terme Q est dense dans R et R/Q est dense dans R

[invite3240c37d]

Bon on partira d'un peu plus bas !! On a donc a < b .

On va fabriquer deux suites de rationnels p_n < q_n comme suit par récurrence :
Il existe un rationnel p₀< a et un rationnel q₀ > b
Si alors . Si alors
Le processus s'arrête quand . On observe que .
Le processus doit s'arrêter autrement on aurait pour tout n .

Il existe donc un rationnel .

On va fabriquer une suite d'irrationnels u_n comme suit :
Il existe un irrationnel u₀< a . Ensuite et on s'arrête quand .
Je te laisse montrer que le processus doit s'arrêter , et conclure.

...

[A voir en vidéo sur Futura]