Les nombres réels

[invite9d2d3d4c]

Savez vous dans quelles circonstance ont été trouvé les nombres réels ? Je sais que Cauchy, dedekind et Cantor y sont pour quelques choses mais je comprend mal le role de chacun , si 'lun de vous en sait un peu plus...

Merci

Léa
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[invite63ea3fef]

Bonjour,

Mouais, sur Dedekind j'ai trouvé ce truc avec google :

http://www.reunion.iufm.fr/recherche...e_dedekind.htm

Quel cailloux c'était ce Dedekind !

J'espère que cela pourra éclairer votre lanterne sur le sujet que vous évoquez.

Cordialement.

[invite4793db90]

Salut,

les nombres entiers et rationnels (qui sont des nombres réels) sont connus depuis les premières civilisations. Les Grecs ont été les premiers confrontés aux nombres irrationnels ( ou ), et ils ont aussi introduit le nombre comme rapport de la circonférence au diamètre. Enfin, tous les problèmes touchant au continu (étude de courbe, calcul infinitésimal et différentiel, etc.) supposent plus ou moins implicitement selon les auteurs l'existence de nombres avec une précision aussi fine que souhaitée.

Les nombres réels n'ont donc pas été "trouvés" par Dedekind ou Cantor: ils ont été construits.

Tout commence avec les travaux de Bolzano et de Cauchy sur les séries (ils connaissaient le critère dit "de Cauchy"). Cauchy définit un nombre irrationnel comme "la limite des diverses fractions qui en fournissent des valeurs de plus en plus approchées" (1821). Le problème, c'est que cette définition présuppose l'existence des nombres réels. Quant à Bolzano, il est le premier (1835) à tenter de fonder la théorie des nombres réels sur une base purement arithmétique, bien qu'elle manquât de rigueur. Citons aussi Hamilton (1837), Bertrand (1849) et Weierstrass (1863) qui ont également travaillé à ce sujet.

Il faut bien être conscient qu'une définition rigoureuse des nombres réels devenait une nécessité cruciale (notamment avec la découverte de nombres transcendants par Liouville (1844) et les problèmes de convergence des séries de Fourier).

Dedekind publie sa théorie des "coupures" en 1872, après plusieurs années de réflexion. (pour plus d'infos, voir par exemple ici ou dans le premier chapitre de A Course in Modern Analysis, Whittaker and Watson, Cambridge.)

Charles Méray propose en 1869 une autre théorie que Cantor reprendra et qui en termes modernes consiste à définir IR comme le complété de Q pour la valeur absolue classique: IR est alors le quotient de l'ensemble des suites de Cauchy par le noyau des suites convergeant vers zéro (voir par exemple ici).

Voili, je ne saurais que trop te recommander le livre de Dieudonné, Abrégé d'histoire des mathématiques (Hermann), dont je t'ai déjà parlé et qui détaille ces questions.

Cordialement.

[invite9c9b9968]

salut,

Je rajoute une petite précision par rapport à l'excellent message de martini_bird : les deux constructions présentées (coupure et quotientage) ont chacune leur avantage par rapport à des propriétés fondamentales du corps des réels.

D'abord, un petit rappel : une suite de (E,d) ( distance sur E) est dite de Cauchy si et seulement si pour tout il existe tel que pour tout on ait . En d'autre termes, "les termes de la suite se rapprochent de plus en plus les uns les autres"


Ainsi, tout le monde connaît l'axiome de la borne supérieure : "toute partie non-vide majorée de l'ensemble des réels admet un sup". Cet "axiome" n'en est plus un avec la construction de Dedekind, et les coupures en permettent la démonstration.

Par contre, pour ce qui est du problème de complétude (si je prend une suite de Cauchy d'un ensemble E pour la distance d, suis-je sûr de la convergence de cette suite ? Si oui, on dit que (E,d) est complet), la construction par le quotientage de Méray et Cantor est bien plus performante, puisque elle résout le problème par construction (IR est complet pour la distance induite par la valeur absolue, contrairement à l'ensemble des rationnels)

@+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

Salut,

j'ajouterai aussi que les cinqs propriétés suivantes de IR sont équivalentes:

• IR est complet. (Cauchy, Meray, Cantor)
  
  
• Borne supérieure: toute partie non-vide majorée de IR admet une bonne supérieure. (Dedekind)
  
  
• Théorème des segments emboîtés: l'intersection d'une suite décroissante de segments dont la longueur tend vers zéro est un singleton. (Cette propriété permet de démontrer le théorème de Bolzano-Weierstrass sur la compacité des segments.)
  
  
• Tout suite croissante et majorée est convergente.
  
  
• Deux suites adjacentes convergent vers la même limite.

On a donc le choix des armes pour présenter une construction des nombres réels!

[invite9d2d3d4c]

Merci milles fois tu expliques super bien grace a toi je comprend bcp mieux tout ces problèmes .