A propos des Nombres reels...

[invite4dc78ee9]

Salut,
je suis un taupin, et j'ai rencontré des exercices tres difficiles; svp aidez moi;
merci d 'avance.
I-le probleme á suivre se centre sur les nombres réels; il est tres 'abstrait' et c'est difficile; je n'ai pas pu le resoudre.

Soit a et b 2 réels strictement positifs et
E= 1/na + 1/mb /, (n,m) appartient á N*^2
1-Montrer que 0=inf (E), et calculer sup(E)
2-Montrer que pr tt k de N* et pr tout > 0 il existe (n,m) de N*^2 tels que :
1/ka<=1/na+1/mb<=1/ka+epsilon
II- II-
ce probleme de sup MPSI concerne les fonctions réelles, j'ai pu resoudre 1 2 3 4. S'il vous plait aidez moi dans la partie 5, et merci d'avance.
Soit f une fonction de R dans R, telle que :
1- f(1)=1
2-Pour tous reels x et y, f(x+y)=f(x)+f(y)
3-Pour tout x non nul, f(1/x)=1/f(x)
Montrer:
1-f(0)=0, et f impaire
2-Pour tout n de N, f(n)=n
3-Pour tout n de Z, f(n)=n
4-Pour tout q de Q, f(q)=q
5-Qu'on peut utiliser le fait que Q est dense dans R pour montrer que pour tout reel x, f(x)=x.
merci d'avance.
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[doryphore]

Pour le 1. tu démontres que les éléments de ton ensembles sont positifs et tu en extraits une suite qui tend vers 0.

[invitec314d025]

Soit a et b 2 réels strictement positifs et
E= 1/na + 1/mb /, (n,m) appartient á N*^2
1-Montrer que 0=inf (E), et calculer sup(E)
2-Montrer que pr tt k de N* et pr tout > 0 il existe (n,m) de N*^2 tels que :
1/ka<=1/na+1/mb<=1/ka+epsilon

Pour la question 1, tu n'as vraiment pas d'idée ?
Que connais-tu comme caractérisation de inf(E) et sup(E) ?

[EDIT: argh, grillé par Doryphore, qui en plus se paye le luxe de donner une solution toute faite ]

[invite4dc78ee9]

Salut, merci á vous.
Mais comment faire cela ? ( Nous venons d'apprendre les suites extraites, et je ne sais pas bien les manipuler..). Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[doryphore]

Pour la 5 du II, il manque la continuité de ta fonction pour la prolonger par densité...

[invitec314d025]

Salut, merci á vous.
Mais comment faire cela ? ( Nous venons d'apprendre les suites extraites, et je ne sais pas bien les manipuler..). Merci

Bon alors, je te propose de t'éloigner un peu de l'exercice et de montrer ce qui suit (il est de toute façon indispensable de bien le maîtriser):

Soit E une partie de IR majorée, qui admet donc une borne supérieure.
Montrer que les 3 propositions suivantes sont équivalentes:

i) Définition de M = sup(E) : M est un majorant de E, et pour tout m majorant de E, M <= m (M est le plus petit des majorants).

ii) M est un majorant de E, et pour tout epsilon > 0, il existe a dans E tel que M < a + epsilon

iii) M est un majorant de E, et il existe une suite (an) d'éléments de E qui converge vers M

Si tu sais montrer ça, et que tu le visualises bien (que ça te paraisse vraiment naturel), tu n'auras plus de problème à résoudre le genre d'exercice qui t'est proposé.

[invitec314d025]

Pour la 5 du II, il manque la continuité de ta fonction pour la prolonger par densité...

En fait si mes souvenirs sont bons, avec f continue on a pas besoin de la condition f(1/x) = 1/f(x) (x non nul) pour montrer le résultat.
Donc avec cette hypothèse, la continuité n'est peut-être pas nécessaire. Je ne connais pas cette variante, je vais essayer. Qu'en penses-tu ?

[doryphore]

J'en pense que je n'ai pas lu tout l'énoncé et que ça semble raisonnable de pouvoir s'en sortir, la continuité n'étant sans doute pas nécessaire...

[invite4dc78ee9]

Hi
En fait j'ai vu une variante de cet exo, qui sans supposer f(1/x)=1/f(x) suppose f(xy)=f(x)f(y); dans ce cas on demontre que f croissante, puis on prend x<r<f(x) et on aboutit a une contradiction. mais dans notre cas a t on f(xy)=f(x)f(y)?
Merci

[doryphore]

Etant donné la nature du I, il va falloir montrer des trucs avec Cauchy, peut-être, et utiliser la complétude de R !???

[invite4dc78ee9]

Salut, s'il vous plait essayez de m'aider dans les 2 exercices, je n'arrive pas á les résoudre.
merci