Exponentielle complexe

[invite3324b7db]

Hello
J'ai une fonction e_k définie par t->e^ikt définie et continue sur [0 , 2 Pi] pour tout k appartenant à [|0,n|].
On travaille dans le C-ev des fonctions continues de [0 , 2 Pi] dans C.
Et le but de la manoeuvre, c'est de montrer que la famille (e_k)_0<=k<=n est libre.
Je me dis qu'il faut le faire par récurrence parce qu'il y a du n et que c'est un peu abstrait...
On a une indication, il faut utiliser la notion de racine de polynôme.

Donc le truc, c'est de montrer l'implication suivante: Somme (pour k de 0 à n) des lambda_ke_k nulle ==> pour tout k, lambda_k est nul.
Pour l'initialisation avec n=0 ou 1 c'est évident.
Pour l'hérédité, je prend un entier naturel n, je suppose que pour n l'implication est vraie, et j'attaque en supposant que la somme pour k de 0 à n+1 est nulle. Et c'est là que ça se corse.... je décompose la somme, et ensuite... vous en voyez des racines de polynôme vous?

Si qqn a une idée au moins pour démarrer, je suis preneur =)
Merci
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[Jeanpaul]

Ta somme ce n'est jamais qu'un polynôme dont la variable est X = exp(it)

[God's Breath]

et il n'y a pas besoin de faire une récurrence.

[invite3324b7db]

OK, je vais essayer.
merci

[A voir en vidéo sur Futura]