[TS] exponentielle , nombre complexe et trigonométrie

[invite2c7c5c2e]

Voilà j'aurais besoin d'un ptit coup d epouce pour démontrer une égalité !


-Montrer que pour tt réel téta :

1-e(i téta) = -2i * sin(téta/2) * e(i*téta/2)

celà je l'ai fait =)


-Démontrer que :
e(i * pi/11) + e(i * 3pi/11) + e(i * 5pi/11) +e(i * 7pi/11) + e(i * 9pi/11)

= [sin(5pi/11)/sin(pi/11)] * e(i * 5pi/11)

celà je l'ai fait =D


-En déduire que :

cos(pi/11) + cos(3pi/11) +cos(5pi/11) + cos(7pi/11) + cos(9pi/11) =1/2

laquestion la je bloque je ne sait pas comment m'y prendre , si quelqu'un pourrait m'aider celà serait vraiment sympa de sa part , merci d'avance
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[invite8a80e525]

Bonjour,

utilise ta dernière égalité et le fait que deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont égales (il n'y a que la partie réelle qu'y t'intéresse ici)

[invite2c7c5c2e]

merci mais tu pourrait pas un ptit pue plus appronfondire

merci davance

[invite8a80e525]

Ben ça donne quoi si tu écrit les parties réelles des deux côtés de ton équation?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2c7c5c2e]

[ cos pi/11 + cos 3pi/11 + cos 5pi/11 + cos 7pi/11 + cos9pi/11 ] + i[ sin pi/11

+ sin 3pi/11 + sin 5pi/11 + sin 7pi/11 + sin9pi/11 ] = [ cos (pi/11) * sin (5pi/

11) /sin (pi/11) ] + i * sin (5pi/11)

[invite8a80e525]

La fin du deuxième membre est fausse, c'est plutôt :
[ cos (pi/11) * sin (5pi/11) /sin (pi/11) ] + i * [sin (5pi/11)* sin (5pi/11) /sin (pi/11)]

Maintenant tu dis que deux complexes sont égaux si et seuleument si leurs parties réelles et imaginaires sont égales.

Ce te donne un système de deux équations, l'une avec les parties réelles, l'autre avec les parties imaginaires, mais seule l'équation des parties réelles t'intéresse.

Ecris là, s'implifie là et tu vas obtenir ton résultat...

[invite2c7c5c2e]

Désolé , mais jeusque là je te comprend mais je n'arrive pas a s'implifier léquation obteue afin d etrouver 1/2 merci davance !

[invite8a80e525]

Est que que tu arrives à :
cos pi/11 + cos 3pi/11 + cos 5pi/11 + cos 7pi/11 + cos9pi/11=cos (5pi/11) * sin (5pi/11) /sin (pi/11)

Partant de là, il faut utiliser la forumle de duplication:
sin(2a)=2*sin(a)*cos(a)

[invite2c7c5c2e]

Oui donc en utilisant la formule on arrive a :

cos pi/11 + cos 3pi/11 + cos 5pi/11 + cos 7pi/11 + cos9pi/11

= (sin 2pi/11) / (2sin pi/11)

[invite2c7c5c2e]

Merci jai réussi apres on utilise sin (pi-a) = sin (a) et on trouve le résultat :d

[invite8a80e525]

Oui, c'est bien ce qu'il fallait faire

de rien