Matrice hessienne

[invite7d7810c1]

on a 3 matrices hessienne (ABC) :

A B C
1 2 3 1 3 2 1 1 1
3 1 2 3 1 3 1 1 1
2 3 1 2 3 1 1 1 1

un étudiant dit que A et C sont des point de minimum local et que B est un point selle combien de fautes trouvez vous dans ces réponses.

Il faut juste calculer le determinant et regarder le signe de a si det est positif ? car je connais pas avec 3 coordonnée la on a x y ET Z ou on utlise les valeurs proprs masi j'aimerais savoir quelles sont les propriétés avec les valeurs propre j'ai pas compris merci.
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[invite7d7810c1]

A
1 2 3
3 1 2
2 3 1


b
1 3 2
3 1 3
2 3 1

c
1 1 1
1 1 1
1 1 1

[invite7d7810c1]

je vois vraiment pas comment faire ... et j'ai exam demain xD

[invite7d7810c1]

La résolution de cet exo m'interesserait beaucoup svp

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

La matrice a, de façon immédiate la valeur propre 6, associée au vecteur propre . Sa trace étant 3, les autres valeurs propres et satisfont , donc . Une de ces valeurs propres est négatives.

Puisque la hessienne a deux valeurs propres de signes contraires, on est en un point selle.

La matrice a, de façon immédiate la valeur propre 6, associée au vecteur propre . Sa trace étant 3, on a la même conclusion que dans le cas précédent.

a, de façon immédiate la valeur propre 3, associée au vecteur propre . Elle est de rang 1 (colonnes identiques), donc son noyau est de dimension 2, et elle admet 0 comme valeur propre au moins double.

Finalement, la matrice admet la valeur propre simple 3, et la valeur propre double 0 : on a un point selle, ou un minimum, il faudrait une étude plus fine.

[invite7d7810c1]

Pourquoi ca marche pas en calculant le determinant et apres etudier si det superieur a 0 regarder signe de a etc ? car les valeurs propre la c'est plus dur de trouver pour moi

[invite57a1e779]

La matrice a trois valeurs propres, a, b et c.
Le déterminant est det(A)=abc.

Si le déterminant est positif, tu ne peux pas savoir si a, b et c sont tous 3 positifs (on a minimum), ou s'il y en a 1 positif et 2 négatifs (on a un point selle).

Si le déterminant est négatif, tu ne peux pas savoir si a, b et c sont tous 3 négatifs (on a maximum), ou s'il y en a 1 négatif et 2 positifs (on a un point selle).

[invite7d7810c1]

ok je demanderais juste comment tu fais la pour la valeur propre tu dis tu la vois tout de suite moi je suis obligé de faire X-1 sur toute la diagonale et calcul de determinant pour trouver X ( tu vois le truc ) qui sera ma ou mes valeurs propre

[invite57a1e779]

La force de l'habitude !!

Lorsque, dans toutes les lignes, la somme des termes est la même, on a une valeur propre associée au vecteur propre .

Lorsque c'est la somme par colonne qui est constante, c'est une valeur propre de la transposée, donc également de la matrice donnée, mais on n'a pas de vecteur propre simple.

[invite7d7810c1]

le 6 c 'est la somme de chaque ligne alors ? en examen je pense on aura des petites matrices comme ca alors je fais la somme de chaque ligne je dis ce que tu as dit sur le vecteur propre a+b+c=3 car rang 3 ? et ton "c "c'est 6 pk c'est "c". Oui je vois tu es fort tu arrives a tout faire

[invite57a1e779]

Depuis le temps que je manipules les matrices, j'ai des réflexes.

La somme des termes est constante par ligne et vaut a : a est valeur propre.
La somme des termes est constante par colonne et vaut b : b est valeur propre.
Il y a deux colonnes égales (ou proportionnelles) : 0 est valeur propre.
La matrice est de taille n et de rang r : 0 est valeur propre d'ordre au moins n-r.

La trace de la matrice, c'est la somme des valeurs propres.
Le déterminant de la matrice, c'est le produit des valeurs propres.

Toutes les valeurs propres strictement positives : minimum.
Toutes les valeurs propres strictement négatives : maximum.
Une valeur propre strictement positive et une valeur propre strictement négative : point selle.

Toutes les valeurs propres positives ou nulles : cas douteux.
Toutes les valeurs propres négatives ou nulles : cas douteux.

[invite7d7810c1]

Pour 1ere matrice a = 6 et b =6 car c'est la somme c'est ca ? a+b+c= ? 3+3+c=?

[invite57a1e779]

Pour la première matrice, on trouve, par somme des lignes, a = 6.
La trace fournit a+b+c=3, donc b+c=-3.
Le déterminant fournit abc=18 donc bc=3.
Le déterminant montre que b et c ont même signe, la trace qu'ils sont strictement négatifs.
Mais il suffit de savoir que l'un des deux est strictement négatif pour conclure, et la trace à elle seule permet d'avoir ce renseignement.

Pour la première matrice, on trouve, par somme des lignes, a = 6.
La trace fournit a+b+c=3, donc b+c=-3.
Le déterminant fournit abc=5 donc bc=5/6.
Le déterminant montre que b et c ont même signe, la trace qu'ils sont strictement négatifs.
Mais il suffit de savoir que l'un des deux est strictement négatif pour conclure, et la trace à elle seule permet d'avoir ce renseignement.

Pour la première matrice, on trouve, par somme des ligne, a = 3.
La trace fournit a+b+c=3, donc b+c=0.
Le déterminant fournit abc=0 donc bc=0.
Le déterminant montre que b ou c est nul, la trace qu'ils sont nuls tous les deux.

[inviteaf1870ed]

[QUOTE=God's Breath;2137666]

La matrice a, de façon immédiate la valeur propre 6, associée au vecteur propre . Sa trace étant 3, on a la même conclusion que dans le cas précédent.

[QUOTE]

Euh....j'ai l'impression que B*(1,1,1)=(6,7,6) non ? Et donc 6 n'est pas valeur propre...