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D'où vient le produit scalaire?!



  1. #1
    unnomquelconque

    D'où vient le produit scalaire?!


    ------

    Bonjour à tous, désolé pour mes questions tirées par les cheveux.
    Mais voilà, d'où vient-il?
    J'ai fait un tour vite vite sur wikipedia, et a-on vraiment besoin de se lancer dans les quaternions pour bien comprendre??
    Et de là, si on est famillier avec les nombres complexes, peut-on accumuler assez de matière sur les quaterinions(j'y connais rien!!) vitevite et voir le lien?

    Merci de vos réponses!!

    -----

  2. #2
    sebsheep

    Re : D'où vient le produit scalaire?!

    le produit scalaire de 2 vecteurs u et v, c'est tout simplement la longueur de la projection orthogonale (le truc naturel) du vecteur u sur le vecteur v. C'est en tout cas comme ça que ça été défini dans un premier temps. Après tu peux trouver d'autres définitions qui font appel à des concepts plus généraux, mais si tu regardes ce que ça veut dire, géométriquement tu retombes sur cette définition.

    Après pourquoi "produit scalaire", tout simplement car cette opération est un "produit" entre 2 vecteurs, qui donne un nombre (pas un vecteur) et que les nombres sont aussi appelés des "scalaires". Je ne vois pas de sens plus métaphysique que ça.

  3. #3
    invite986312212
    Invité

    Re : D'où vient le produit scalaire?!

    pas trop d'accord avec Sebsheep. Déjà, sa définition n'est pas symétrique en u,v or le produit scalaire l'est. Ensuite un produit scalaire peut être négatif, et n'est donc certainement pas une longueur.

    on peut voir le produit scalaire entre u et v comme le produit des normes (longueurs) de u et v et du cosinus de l'angle formé par u et v (c'est symétrique!). Mais ce n'est pas une très bonne définition parce qu'elle repose sur les notions de norme, d'angle et de cosinus qui sont moins fondamentales que celle de produit scalaire.

  4. #4
    lou_ibmix_xi

    Re : D'où vient le produit scalaire?!

    Pour toucher du doigt la définition, j'utiliserai plutôt l'utilité physique du produit scalaire avec les vecteurs forces (attention il n'y a aucune rigueur dans les termes employés car, je ne suis pas assez matheux pour ça):

    Si tu veux tirer un objet coincé dans une glissière, tu mesure l'angle entre la glissière et ton chemin.

    Si Ton chemin est parralèle à la glissière, c'est là où tu es le plus efficace: produit scalaire max en valeurs absolue, le signe dépendant du sens de déplacement dans la glissière.

    Lorsque ton chemin et perpendiculaire à la glissiaire: tu as beau tirer, l'objet ne bouge pas: produit scalaire nul et efficacité nulle.

    Pour les angles intermédiaires de 0 à 90°, ton produit scalaire évolue de son max à son min (0), et tu comprends bien que plus l'angle est important, plus il te faudra d'énergie pour une même distance de déplacement.

    Tu peux donc comparer le résultat de ton produit scalaire à une "efficacité" entre la force (qui est bien un vecteur) moteur et le mouvement résultant.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    ericcc

    Re : D'où vient le produit scalaire?!

    C'est la version physique de la définition d'Ambrosio. Pour moi l'idée de départ est effectivement celle du cosinus entre deux segments (vecteurs)...

  7. #6
    unnomquelconque

    Re : D'où vient le produit scalaire?!

    Je sais qu'il se définit comme le produit des normes de deux vecteurs multiplié par le cos de l'angle entre ceux-ci...
    Mais bon, lou_ibmix_xi , ton illustration en montre bien l'application!
    Mais sinon, ca fait quoi un produit scalaire?? Qui a décidé qu'un produit scalaire = ||A||*||B|| * cos(theta) ?
    Est-ce les physiciens pour déduire le travail?

  8. #7
    skydancer

    Re : D'où vient le produit scalaire?!

    Bonjour, le produit scalaire est aussi lié à la notion d'othogonalité dans les espaces vectoriels, et par extension à la construction de bases dans ces espaces.

    Plus généralement le produit scalaire dans les espaces vectoriels ne fait pas directement intervenir de cosinus et tout ça, c'est simplement la somme des produits deux à deux des coordonnées du vecteur (pour des vecteurs réels)

  9. #8
    lapin savant

    Re : D'où vient le produit scalaire?!

    Bonsoir,
    Citation Envoyé par unnomquelquonque Voir le message
    Mais sinon, ca fait quoi un produit scalaire??
    L'interprétation géométrique la plus simple t'as déjà été donnée : cela revient à projeter un vecteur orthogonalement sur l'autre vecteur. Plus généralement, en algèbre cela revient encore à une projection orthogonale dans un espace pré hilbertien voire plus (euclidien, espace de Hilbert....).

    Citation Envoyé par unnomquelquonque Voir le message
    Qui a décidé qu'un produit scalaire = ||A||*||B|| * cos(theta) ?
    A mon avis tu te trompes......ceci est une conséquence de la définition du produit scalaire comme une forme bilinéaire symétrique et définie (ou non dégénérée, comme tu préfères). C'est même d'ailleurs une manière de définir le cosinus d'un angle, ce n'est donc surement pas de cette manière qu'on a défini le produit scalaire.
    Et comme tu l'as mentionné plus haut, la première trace du produit scalaire, si l'on en croit wikipédia (ça vaut ce que ça vaut), a été retrouvée dans les travaux de Hamilton sur les quaternions, pour les besoins de définir un produit lorsque les nombres sont formés de 4-uplets.

    Citation Envoyé par unnomquelquonque Voir le message
    Est-ce les physiciens pour déduire le travail?
    ça m'étonnerait, encore une fois. A ma connaissance, le seul objet à avoir été historiquement "défini" par les physiciens avant de recevoir une définition mathématique rigoureuse est la distribution de Dirac.

  10. #9
    Ledescat

    Re : D'où vient le produit scalaire?!

    Citation Envoyé par lapin savant Voir le message

    ça m'étonnerait, encore une fois. A ma connaissance, le seul objet à avoir été historiquement "défini" par les physiciens avant de recevoir une définition mathématique rigoureuse est la distribution de Dirac.
    Les équations de type Stokes/Ostrogradski également non? Venant d'abord de l'étude des fluides et des champs EM, puis formalisée mathématiquement..
    Cogito ergo sum.

  11. #10
    lapin savant

    Re : D'où vient le produit scalaire?!

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Les équations de type Stokes/Ostrogradski également non? Venant d'abord de l'étude des fluides et des champs EM, puis formalisée mathématiquement..
    C'est bien ce que je disais : à ma connaissance.

  12. #11
    unnomquelconque

    Re : D'où vient le produit scalaire?!

    Merci à tous de votre contribution

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