equation diff. de prepa bio

[invite889c52d4]

soit (E): x(x²-1)y'+2y-x²=0
nous pensons que la solutio est:
y(x)=(x²-1)(C+ln(x))/x²

il faut déterminer la limite de f'(x)=[x²-2f(x)]/[x(x²-1)] quand x tend vers 1. aide: ln(1+u)=u-u²/2+o(u²) quand u tend vers 0.

pouvez vous m'aider s'il vous plait, je suis en BCPST et je n'y arrive pas trop...
-----

[invitef5c8e9ae]

[QUOTE=Mathador33;2172902]soit (E): x(x²-1)y'+2y-x²=0
nous pensons que la solutio est:
y(x)=(x²-1)(C+ln(x))/x²
il faut d abord mettre sous la forme x(x²-1)y'+2y=0
apres en va determiner la solution homogene
c-a-d dy/dx=-2y/x(x²-1) c-a-d (-1/2y)dy=dx/x(x²-1)
apres on integre c trop facile n-es pas

[inviteec9de84d]

Salut,




On injecte ça dans (E) :


Donc la fonction que tu proposes n'est pas solution.
Un conseil :
il s'agit d'une équation différentielle du 1er ordre avec 2nd membre


Donc les solutions de (E) forment une droite affine :

avec une solution de l'équation homogène associée à (E) :


et une solution particulière de (E). Commence donc par résoudre (normalement pas très dur), puis tente de trouver une solution particulière à (E) (difficile).
Il y a peut-être une astuce qui permet de ne pas sortir le marteau-pilon, mais je ne la voit pas .

Pour la solution particulière, as-tu entendu parler de la méthode de la variation de la constante ?

[invitef5c8e9ae]

soit (E): x(x²-1)y'+2y-x²=0
il faut d abord mettre sous la forme x(x²-1)y'+2y=0
apres en va determiner la solution homogene
c-a-d dy/dx=-2y/x(x²-1) c-a-d (-1/2y)dy=dx/x(x²-1)
apres on integre c trop facile n-es pas
en suite en va determiner la solution particulier
c-a-d : c1(x)y1+c2(x)y2 c encore facile
il y a un lois dit que (dc1/dx)y1 +(dc2/dx)y2=0
(dc1/dx)(dy1/dx)+(dc2/dx)(dy2/dx)=x/x(x²-1)
c amigos merci ça seffait

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5c27c063]

il s'agit d'une équation différentielle du 1er ordre avec 2nd membre


Donc les solutions de (E) forment une droite affine :

avec une solution de l'équation homogène associée à (E) :


et une solution particulière de (E). Commence donc par résoudre (normalement pas très dur), puis tente de trouver une solution particulière à (E) (difficile).
Il y a peut-être une astuce qui permet de ne pas sortir le marteau-pilon, mais je ne la voit pas .

Pour la solution particulière, as-tu entendu parler de la méthode de la variation de la constante ?

Je suis d'accord... mais on peut se passer des theoremes dans ce cas.

Ma methode (enfin, celle qu'on m'a apprise...)
1) Au brouillon, tu cherches et trouves une solution de l'equation sans second membre
2) Au propre, tu dis "Soit y une solution de l'equation avec second membre " puis tu sors du chapeau "Sois
3) Tu derives la fonction que tu viens de poser et normalement (sinon tu t'es plante au 1), tu dois observer quelque chose d'interessant (en se souvenant que par hypothese y est solution de l'eq avec second membre.)
4) tu te retrouves avec qch de tres simple pour qui te permet de retrouver avec une constante

Entre 2) et 4), tu determines quelle forme doit necessairement avoir toute solution de (E). Enfin,
5) en partant de l'autre bout, tu poses y= ce que tu as trouve et tu montres que cette famille de fonctions convient.

[inviteec9de84d]

Je suis d'accord... mais on peut se passer des theoremes dans ce cas.

Ma methode (enfin, celle qu'on m'a apprise...)
1) Au brouillon, tu cherches et trouves une solution de l'equation sans second membre
2) Au propre, tu dis "Soit y une solution de l'equation avec second membre " puis tu sors du chapeau "Sois
3) Tu derives la fonction que tu viens de poser et normalement (sinon tu t'es plante au 1), tu dois observer quelque chose d'interessant (en se souvenant que par hypothese y est solution de l'eq avec second membre.)
4) tu te retrouves avec qch de tres simple pour qui te permet de retrouver avec une constante

Entre 2) et 4), tu determines quelle forme doit necessairement avoir toute solution de (E). Enfin,
5) en partant de l'autre bout, tu poses y= ce que tu as trouve et tu montres que cette famille de fonctions convient.

Oui, moi aussi on m'a appris comme ça . Ton 3)+4) s'appelle variation de la constante.

P.S. J'aime beaucoup ce genre de calculs :tu te tues au brouillon et puis au propre, hop, tour de magie !!