convergence d'intégrale

[inviteb7283ac9]

Bonjour,
Voici ce qui me pose pb : "Soient une fonction continue h : [-1;1] à valeur ds R, et M la borne sup de |h(x)| pour |x|inférieur ou égal à 1.
0<<

question : montrer que la suite n-> converge vers 0"

J'ai déjà montré que

était majorée par

et même chose pour


(cela est surement sans interet ici, ms sait-on jamais...)

Je sais qu'il existe un théorème sur la convergence des intégrales dépendant d'un paramètre (de mémoire il faut, entre autre, calculer la dérivée de la fonction par rapport au paramètre ...), ms je ne le connais plus et je ne l'ai pas sous la main. Serait-il la clé de cette question? Si oui pourriez vous me le rappeler? Sinon auriez vous une autre piste?

Remarque : il est évident que si cette suite converge, alors sa limite est 0. En effet si on prend =/2 l'intégrale devient égale à 0 pout tout n...

Voilà merci de votre collaboration
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[invitebb921944]

Bonjour, je pense que le théorème de convergence dominée est bien adapté ici.

[inviteb7283ac9]

Aprés un pt tour sur wikipédia, il semble que le théorème dont tu parles est l'un des théorèmes de la théorie de l'intégration de Lebesgue. Ms je ne verrai cette théorie qu'en Master...Il me semble dc peu judiscieux d'utiliser un tel thm à partir du moment où je suis censé l'ignorer.

[invitebb921944]

Tu as du voir un théorème semblable dans le cadre des intégrales de Riemann.
En fait, il faut que tu arrives à montrer que tu peux intervertir le signe limite et le signe intégral.
En effet, si tu arrives à faire celà, tu auras montré que
.
Or, vaut pour tout (on utilise quand même la continuité de h), ce qui te donne le résultat souhaité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb7283ac9]

Ok, en bref il existe un théorème que je dois retrouver qui permet d'intervertir Lim et Intégrale, après c'est gagné...Merci, je vais essayer de trouver ça

[inviteb7283ac9]

Je n'ai pas trouvé ce fameux théorème...si qqun en connait l'énoncé cela me rendrait bien service.

[invitea41c27c1]

Si tu ne veux pas utiliser de theoreme d'interversion, tu demontres la convergence avec les epsilon:

Soit ,

Il existe , tel que .

Il existe tel que ... je te laisse finir...

[inviteb7283ac9]

Je ne vois pas où tu veux en venir...
Le début de ton raisonnement ne fait que reprendre de manière formelle les conséquences du "théorème". En effet la dernière ligne met en avant le fait que tend vers 0. Celle d'avant, elle, met en avant le fait que si est proche de 0, alors la valeur absolue ds l'intégrale tend vers 0. Je suis bien d'accord avec tout ça, ms je ne vois pas en quoi cela fait avancer les choses car ce qui fait défaut ce sont les conditions d'application du "théorème",et non ces conséquences? (je ne remet pas en cause ce que tu écris, c juste que je n'ai compris à pas à quoi ça mène...)

[invitea41c27c1]

Je suis juste en train de demontrer la convergence de ta suite vers 0 de facon elementaire sans utiliser aucun theoreme.

J'ai montré que :
Pour tout , il existe tel que pour tout ,


Ce qui prouve la converge vers zero.

Cette demonstration n'a rien avoir avec le theoreme d'invertion integral et limite, et c'est beaucoup plus simple que de redemonter le theoreme de convergence dominé.

[invitea41c27c1]

Peut-etre veux-tu que je precise les details de mes arguments? (je n'ai pas justifier explicitement l'existence de et de )

NB: Faute de frappe dans mon message precedent: il faut remplacer par

[inviteb7283ac9]

U existe à partir du moment où h est continue
et N existe car converge vers 0 pour -1<t<1
c'est cela?

[invitebb921944]

L'encadrement est : .

[inviteb7283ac9]

oui bien sûr, c une etourderie de ma part