Problème!

[invite98b1e16f]

Salut tout le monde, alors voilà j'ai un petit souci, si on pouvait me donner un petit coup de main...!
On coupe un fil de 48m en deux parties: l'une permet de construire un carré et l'autre un triangle équilatéral. Comment doit-on couper ce fil pour que la somme des 2aires du carré et du triangle soit minimale?
Quesqu'on entend par aire minimale?
Ce qui est déjà sur c'est que la 1ère partie sera plus longue que 24m et l'autre plus petite...
J'ai calculé l'aire du carré: y^2 (avec y un coté du carré) et l'aire du triangle: x((x racine de3)/2) avec x un coté du triangle..
Mais après je coince!
Merci d'avance!
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[invite787e8665]

je pense qu'il faut ramener ca a l'étude d'une fonction:

Soit x, le longueur d'un coté du triangle.
L'aire du triangle est donc:


Si x est la longueur d'un coté du triangle, alors un coté du carré mesure:
donc l'aire du carré vaut :

La somme des 2 aires vaut donc:


Il te reste donc a simplifié l'équation et a faire une simple étude de fonction sur l'ensemble ]0;48[

[invite787e8665]

pour info je trouve (sans rien vérifié) que x doit valeur 9,04 pour que la somme des aires soit minimale

[invite98b1e16f]

Ok mais la racine carré me pose problème parce que je n'arrive pas à 9.04...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1ff1de77]

ou est le probleme
il suffit de dériver la fonction entre les mains et de deduire des variations x pour lequel f(x) admet un minimum relatif dans l'intervalle ]0,48[
you see what l mean

[invite98b1e16f]

Ha oui ok.... Je vois comment faire!
Encore merci de votre aide!

[invite787e8665]

La racine carré pose pas de problème puisqu'en mettant x² en facteur, tu peux sortir le x. Ensuite tu trouve f'(x)=0 et comme le coefficient de x² est positive, la courbe f admettra la solution de f'(x)=0 comme valeur minimale

[invite98b1e16f]

Heu la je suis totalement paumée!! J'ai donc essayé de calculé la dérivé de ça mais à chaque fois je trouve une autre réponse.. Et le problème c'est que après que j'aurais étudier cette fonction et bien je vois pas trop comment j'arriverai à la solution... Enfin ce que je veux dire c'est que je comprend pas pourquoi on doit passer pas là..

[invitec314d025]

parce que grâce à la dérivée, tu as les variations de la fonction, et tu peux donc trouver les minima et maxima (la dérivée s'annule sur les extrema locaux).

[invite787e8665]

Heu la je suis totalement paumée!! J'ai donc essayé de calculé la dérivé de ça mais à chaque fois je trouve une autre réponse.. Et le problème c'est que après que j'aurais étudier cette fonction et bien je vois pas trop comment j'arriverai à la solution... Enfin ce que je veux dire c'est que je comprend pas pourquoi on doit passer pas là..

Il faut que tu simplie ton expression:


Ensuite du simplifie le polynome et tu dérives

[shokin]

Soit x la longueur consacré au périmètre du carré.

alors tu as :

x/4 égale le côté du carré

(x/4)^2 égale l'aire du carré.

48-x égale le périmètre du triangle équilatéral

(48-x)/3 égale le côté du triangle équilatéral

(48-x)*racine(3)/6 égale la hauteur du triangle équilatéral

(48-x)^2 *racine(3)/36 égale l'aire du triangle

f(x)=(x/4)^2 + (48-x)^2 *racine(3)/36 aire totale du triangle et du carré.

f'(xt)=0

une fois xt trouvé, tu calcules f(xt)=aire minimale.

Shokin

[invite787e8665]

En clair c'est ce qu'on explique tout au dessus

[shokin]

En clair c'est ce qu'on explique tout au dessus

En claire, c'est clair.

Shokin

[invite98b1e16f]

Oui je suis enfin parvenue à terminer cet exercice et en plus à comprendre! Encore merci beaucoup à tous!!

[invite770d9cfe]

J'essaye d'en faire un peu (40 ans après) pour essayer de dérouiller ma vieille boîte à Alzheimer, mais je ne sais pas comment R i S a calculé l'aire du triangle. Donc je suis perdu depuis le début. Si qqn a 5 minutes...merci d'avance.
Je ne trouve pas le même résultat. La suite va sans dire.
Bien sûr, je connais Pythagore.

[invitec053041c]

Salut,

Par le theoreme de pythagore, on trouve assez aisément que la hauteur de ce triangle equilatéral de côté x vaut:



Puis Aire=base*hauteur/2

[invite770d9cfe]

Merci. J'avais trouvé que la surface du triangle était de

...et je n'avais pas vu que c'était la même chose.

[invite770d9cfe]

J'ai trouvé ce problème particulièrement intéressant, pour une raison qui n'a rien a voir avec son contenu mais avec la méthode d'approche. On est pile poil dans un problème à double entrée où on peut poser x comme le côté du triangle comme l'a fait R is R, mais aussi comme le côté du carré.

J'ai fait le pb dans les deux sens. Cette deuxième façon de procéder se complique terriblement vers la fin en temps de calcul et risques d'erreur.

Ma question est la suivante : lorsque dans un examen on est limité dans le temps et qu'il y a deux points d'entrée dans un problème comme celui-là, comment deviner quelle est la bonne approche ?
Culture mathématique pure ?

[invitebd020be0]

L'expérience. Ou alors, c'est l'échec total
Je pense qu'en partant sur les deux indications, on découvre vite fait laquelle est la plus contraignante niveau calculatoire.

[invite770d9cfe]

Tu dis "l'expérience" ; ce que j'entendais, sauf interprétation de ma part, par "culture mathématique". Je pense que tu as raison. Pour faire un excellent joueur d'échecs, par exemple, il faut un joueur qui ait joué beaucoup de parties (1).

(1) les échecs sont plus instructifs que les succès (vieux proverbe chinois).

[invitec053041c]

Ici, on se rend compte assez facilement par quel côté prendre le problème. L'aire d'un carré est élémentaire à exprimer, celle d'un triangle équilateral l'est moins. Autant équilibrer les difficultés en prenant une expression du côté du triangle plus simplifiée, et celle du carré un peu plus compliquée, bref..

[invitebd020be0]

Tout à fait, ici on s'en rend bien compte. après, dans le cas général, c'est la culture mathématique, de temps en temps l'instinct (souvent pour certains). Aux échecs c'est un peu différent je pense, je suis moi-même joueur d'échecs à mes heures perdues, et je connais depuis un certain beaucoup de combinaisons par cœur, mais certaines situations sont très différentes, et dans ce cas, on se remet à étudier le plateau pour élaborer une stratégie