exercice

[invitea75ef47e]

Bonsoir!!
Pourriez vous m'aider à faire la question 1?

Un dispositif de comptage dénombre les visiteurs qui entrent dans un musée. On note
Xo == 0, et pour tout n E N*, on introduit la variable aléatoire Xn qui donne le nombre
de visiteurs ayant passé le portail entre les instants 0 et n. On se place dans le cas où les
variables sont telles que pour tous entiers 0 < m < n, Xm et Xn - Xm sont indépendantes,
et Xn - Xm suit la loi de Poisson de paramêtre a(n - m) (a est un réel strictement positif
donné). Soient (n, m) E N2, avec 0 < m < n.
1. Calculer E(Xm(Xn - Xm)), puis la covariance des variables aléatoires Xm et Xn.
Merci d'avance
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[invitea75ef47e]

personne????

[lapin savant]

Salut,
Xm et Xn-Xm étant indépendantes :


Xm et Xn-Xm suivent une loi de poisson de paramètres am et a(n-m) respectivement donc

et


Donc,


Ensuite, tu sais que la covariance de 2 v.a. s'exprime par :


et utilise le calcul précédent.

[invitea75ef47e]

Comment arrive-t-on à calaculer E(X_m)?

[A voir en vidéo sur Futura]

[lapin savant]

Xm suit une loi de poisson, de paramètre am (Xn-Xm suit une loi de poisson de paramètre a(n-m), et la loi de poisson étant stable par addition, tu en déduis facilement les paramètres des lois de Xn et Xm).
L'espérance d'une v.a. suivant une loi de poisson vaut le paramètre (je le sais...).
Pour le calcul effectif, vois ce lien http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Poisson

[invitea75ef47e]

Il me semblait que si X et Y suivent une loi de poisson de parametre l et m et que X et Y sont indépendantes alors X+Y suit une loi de poisson de paramètre de l+m.
Mais cette propriété ne dit pas que si X+Y suit une loi de poisson de paramètre L+M alors X suit une loi de poisson de paramètre l...

[lapin savant]

Il me semblait que si X et Y suivent une loi de poisson de parametre l et m et que X et Y sont indépendantes alors X+Y suit une loi de poisson de paramètre de l+m.
Mais cette propriété ne dit pas que si X+Y suit une loi de poisson de paramètre L+M alors X suit une loi de poisson de paramètre l...

C'est vrai
De plus, il est également vrai que Xn et Xm ne sont pas a priori indépendantes donc...raisonnement faux !
Pourtant les v.a. Xn et Xm suivent bien une loi de poisson (comptage sur une période T).
N'as-tu aucun autre renseignement sur ces v.a. ?