Dites, je tiens peut-être une vraie question ici (ça va nous changer des "preuves" de la quadrature du cercle) : pi est-il un nombre de Liouville ? ou bien : pour tout epsilon > 0, existe-t-il C_epsilon tel que pour tous p et q entiers
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Dites, je tiens peut-être une vraie question ici (ça va nous changer des "preuves" de la quadrature du cercle) : pi est-il un nombre de Liouville ? ou bien : pour tout epsilon > 0, existe-t-il C_epsilon tel que pour tous p et q entiers
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Bonne question en effet.Envoyé par BS
Dites, je tiens peut-être une vraie question ici (ça va nous changer des "preuves" de la quadrature du cercle) : pi est-il un nombre de Liouville ? ou bien : pour tout epsilon > 0, existe-t-il C_epsilon tel que pour tous p et q entiers
Une réponse partielle, tirée de An introduction to the theory of numbers, Hardy& Wright:
pour tout nombre irrationnelle, il existe une infinité de fractions p/q telles que
De plusest la meilleure constante possible... de quoi devenir dingue!
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Sur ce, bonne nuit.![]()
Pas de doute pour moi.Envoyé par martini_bird
Bonne question en effet.
Mouarf si j'ai bonne mémoire, j'ai vu des sommes de Liouvilles dans un sujet de Ulm, mais vous avez un lien ou une explication directe sur les nombres de Liouville ?Envoyé par martini_bird
Une réponse partielle, tirée de An introduction to the theory of numbers, Hardy& Wright:
pour tout nombre irrationnelle, il existe une infinité de fractions p/q telles que
De plusest la meilleure constante possible... de quoi devenir dingue!
Oui, le théorème de Liouville dit que si x est un nombre irrationnel et algébrique de degré n, alors il existe une constante C telle que pour tous p et q entiersEnvoyé par matthias
Mouarf si j'ai bonne mémoire, j'ai vu des sommes de Liouvilles dans un sujet de Ulm, mais vous avez un lien ou une explication directe sur les nombres de Liouville ?
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Ce n'est pas très difficile à démontrer (utiliser une inégalité type accroissements finis).
Un nombre de Liouville est un nombre irrationnel qui, pour tout n > 1, ne vérifie pas cette propriété. En particulier un nombre de Liouville est transcendant. A ma connaissance c'est la première fois que l'on a démontré l'existence de nombres transcendants. Par exemple
est un nombre de Liouville.
Plus tard Thue a amélioré ce théorème : si x est irrationnel algébrique, pour toutil existe une constante C telle que
mais ceci est plus difficile... Par ailleurs le résultat cité par martini_bird montre qu'on ne peut pas espérer mieux.
Salut,
Oui, en effet, ce sont les premiers nombres transcendants découverts (1851) (on peut remplacer 10 par un entier>0 quelconque).Envoyé par BS
A ma connaissance c'est la première fois que l'on a démontré l'existence de nombres transcendants. Par exemple
est un nombre de Liouville.
En 1874, Cantor montre que la plupart des nombres sont transcendants, mais comme vous les savez, sa démonstration n'est pas constructive (notion de cardinal). Les mathématiciens de l'époque sont alors très sceptiques... Et pourtant!
Cordialement.
Sur http://mathworld.wolfram.com/Pi.html, paragraphe "It is also known ...", bonne lecture.
tu as l'art de maintenir le suspense hedronEnvoyé par hedron
Sur http://mathworld.wolfram.com/Pi.html, paragraphe "It is also known ...", bonne lecture.![]()
vu que le début de la phrase citée est aussi "It is also known thatis not a Liouville number (Mahler 1953)", il semblrerait bien que la question ait déjà été résolue ....
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Le remords me taraudanttu as l'art de maintenir le suspense ..., je précise : l'exposant optimal est probablement 2 exclus (c.a.d. 2+epsilon pour tout epsilon) mais ce qu'on savait faire de mieux (quand la page web a été écrite) était 8.0161