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Pi et Liouville



  1. #1
    BS

    Re : Quadrature d'un cercle "foetus" !


    ------

    Dites, je tiens peut-être une vraie question ici (ça va nous changer des "preuves" de la quadrature du cercle) : pi est-il un nombre de Liouville ? ou bien : pour tout epsilon > 0, existe-t-il C_epsilon tel que pour tous p et q entiers

    -----

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  3. #2
    martini_bird

    Re : Quadrature d'un cercle "foetus" !

    Citation Envoyé par BS
    Dites, je tiens peut-être une vraie question ici (ça va nous changer des "preuves" de la quadrature du cercle) : pi est-il un nombre de Liouville ? ou bien : pour tout epsilon > 0, existe-t-il C_epsilon tel que pour tous p et q entiers
    Bonne question en effet.

    Une réponse partielle, tirée de An introduction to the theory of numbers, Hardy& Wright:
    pour tout nombre irrationnelle , il existe une infinité de fractions p/q telles que


    De plus est la meilleure constante possible... de quoi devenir dingue!

    Sur ce, bonne nuit.

  4. #3
    matthias

    Re : Quadrature d'un cercle "foetus" !

    Citation Envoyé par martini_bird
    Bonne question en effet.
    Pas de doute pour moi.

    Citation Envoyé par martini_bird
    Une réponse partielle, tirée de An introduction to the theory of numbers, Hardy& Wright:
    pour tout nombre irrationnelle , il existe une infinité de fractions p/q telles que


    De plus est la meilleure constante possible... de quoi devenir dingue!
    Mouarf si j'ai bonne mémoire, j'ai vu des sommes de Liouvilles dans un sujet de Ulm, mais vous avez un lien ou une explication directe sur les nombres de Liouville ?

  5. #4
    BS

    Re : Quadrature d'un cercle "foetus" !

    Citation Envoyé par matthias
    Mouarf si j'ai bonne mémoire, j'ai vu des sommes de Liouvilles dans un sujet de Ulm, mais vous avez un lien ou une explication directe sur les nombres de Liouville ?
    Oui, le théorème de Liouville dit que si x est un nombre irrationnel et algébrique de degré n, alors il existe une constante C telle que pour tous p et q entiers

    Ce n'est pas très difficile à démontrer (utiliser une inégalité type accroissements finis).
    Un nombre de Liouville est un nombre irrationnel qui, pour tout n > 1, ne vérifie pas cette propriété. En particulier un nombre de Liouville est transcendant. A ma connaissance c'est la première fois que l'on a démontré l'existence de nombres transcendants. Par exemple
    est un nombre de Liouville.

    Plus tard Thue a amélioré ce théorème : si x est irrationnel algébrique, pour tout il existe une constante C telle que

    mais ceci est plus difficile... Par ailleurs le résultat cité par martini_bird montre qu'on ne peut pas espérer mieux.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    martini_bird

    Re : Quadrature d'un cercle "foetus" !

    Salut,

    Citation Envoyé par BS
    A ma connaissance c'est la première fois que l'on a démontré l'existence de nombres transcendants. Par exemple
    est un nombre de Liouville.
    Oui, en effet, ce sont les premiers nombres transcendants découverts (1851) (on peut remplacer 10 par un entier>0 quelconque).

    En 1874, Cantor montre que la plupart des nombres sont transcendants, mais comme vous les savez, sa démonstration n'est pas constructive (notion de cardinal). Les mathématiciens de l'époque sont alors très sceptiques... Et pourtant!

    Cordialement.

  8. #6
    hedron

    Re : Pi et Liouville

    Sur http://mathworld.wolfram.com/Pi.html, paragraphe "It is also known ...", bonne lecture.

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  10. #7
    matthias

    Re : Pi et Liouville

    Citation Envoyé par hedron
    Sur http://mathworld.wolfram.com/Pi.html, paragraphe "It is also known ...", bonne lecture.
    tu as l'art de maintenir le suspense hedron
    vu que le début de la phrase citée est aussi "It is also known that is not a Liouville number (Mahler 1953)", il semblrerait bien que la question ait déjà été résolue ....

  11. #8
    hedron

    Re : Pi et Liouville

    tu as l'art de maintenir le suspense ...
    Le remords me taraudant , je précise : l'exposant optimal est probablement 2 exclus (c.a.d. 2+epsilon pour tout epsilon) mais ce qu'on savait faire de mieux (quand la page web a été écrite) était 8.0161

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