Pi et Liouville

[invite8f53295a]

Dites, je tiens peut-être une vraie question ici (ça va nous changer des "preuves" de la quadrature du cercle) : pi est-il un nombre de Liouville ? ou bien : pour tout epsilon > 0, existe-t-il C_epsilon tel que pour tous p et q entiers

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[martini_bird]

Dites, je tiens peut-être une vraie question ici (ça va nous changer des "preuves" de la quadrature du cercle) : pi est-il un nombre de Liouville ? ou bien : pour tout epsilon > 0, existe-t-il C_epsilon tel que pour tous p et q entiers

Bonne question en effet.

Une réponse partielle, tirée de An introduction to the theory of numbers, Hardy& Wright:
pour tout nombre irrationnelle , il existe une infinité de fractions p/q telles que


De plus est la meilleure constante possible... de quoi devenir dingue!

Sur ce, bonne nuit.

[matthias]

Bonne question en effet.

Pas de doute pour moi.

Une réponse partielle, tirée de An introduction to the theory of numbers, Hardy& Wright:
pour tout nombre irrationnelle , il existe une infinité de fractions p/q telles que


De plus est la meilleure constante possible... de quoi devenir dingue!

Mouarf si j'ai bonne mémoire, j'ai vu des sommes de Liouvilles dans un sujet de Ulm, mais vous avez un lien ou une explication directe sur les nombres de Liouville ?

[invite8f53295a]

Mouarf si j'ai bonne mémoire, j'ai vu des sommes de Liouvilles dans un sujet de Ulm, mais vous avez un lien ou une explication directe sur les nombres de Liouville ?

Oui, le théorème de Liouville dit que si x est un nombre irrationnel et algébrique de degré n, alors il existe une constante C telle que pour tous p et q entiers

Ce n'est pas très difficile à démontrer (utiliser une inégalité type accroissements finis).
Un nombre de Liouville est un nombre irrationnel qui, pour tout n > 1, ne vérifie pas cette propriété. En particulier un nombre de Liouville est transcendant. A ma connaissance c'est la première fois que l'on a démontré l'existence de nombres transcendants. Par exemple
est un nombre de Liouville.

Plus tard Thue a amélioré ce théorème : si x est irrationnel algébrique, pour tout il existe une constante C telle que

mais ceci est plus difficile... Par ailleurs le résultat cité par martini_bird montre qu'on ne peut pas espérer mieux.

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Salut,

A ma connaissance c'est la première fois que l'on a démontré l'existence de nombres transcendants. Par exemple
est un nombre de Liouville.

Oui, en effet, ce sont les premiers nombres transcendants découverts (1851) (on peut remplacer 10 par un entier>0 quelconque).

En 1874, Cantor montre que la plupart des nombres sont transcendants, mais comme vous les savez, sa démonstration n'est pas constructive (notion de cardinal). Les mathématiciens de l'époque sont alors très sceptiques... Et pourtant!

Cordialement.

[hedron]

Sur http://mathworld.wolfram.com/Pi.html, paragraphe "It is also known ...", bonne lecture.

[matthias]

Sur http://mathworld.wolfram.com/Pi.html, paragraphe "It is also known ...", bonne lecture.

tu as l'art de maintenir le suspense hedron
vu que le début de la phrase citée est aussi "It is also known that is not a Liouville number (Mahler 1953)", il semblrerait bien que la question ait déjà été résolue ....

[hedron]

tu as l'art de maintenir le suspense ...

Le remords me taraudant , je précise : l'exposant optimal est probablement 2 exclus (c.a.d. 2+epsilon pour tout epsilon) mais ce qu'on savait faire de mieux (quand la page web a été écrite) était 8.0161